Filtre de Sallen-Key

Un filtre de Sallen-Key és un tipus de filtre electrònic actiu d'especial importància per la seva simplicitat. Aquesta topologia fou introduïda per primer cop per R. P. Sallen i E. L. Key del laboratori Lincoln del MIT el 1955.[1]

El circuit produeix un filtre passabaix, un filtre passaalt o un filtre passabanda de dos pols (-40 dB/dècada) emprant només dues resistències, dos condensadors i un amplificador operacional. Per tal d'obtenir filtres d'ordre superior es poden connectar diverses etapes en cascada.[2]

Els filtres de Sallen-Key són poc sensibles a la tolerància dels components, tanmateix són necessaris valors extrems per tal d'obtenir un factor de qualitat elevat.[2]

Configuració genèrica

Figura 1: Circuit genèric d'un filtre de Sallen-Key de guany unitari.

A la Figura 1 es pot observar la configuració genèrica d'un filtre de Sallen-Key de guany unitari. Al següent anàlisi es parteix de la hipòtesi d'utilitzar un amplificador operacional ideal.

En un amplificador operacional ideal es compleix la igualtat V p = V n {\displaystyle V_{p}=V_{n}} (curtcircuit virtual). Com que, amb les connexions mostrades, la tensió de l'entrada inversora és la mateixa que la de sortida, tenim,

V p = V n = V o {\displaystyle V_{p}=V_{n}=V_{o}}

 

 

 

 

(1)

El mètode de l'anàlisi nodal modificat de circuits ens mostra que podem determinar qualsevol variable del circuit aplicant, en aquest cas, la llei de Kirchhoff del corrent (KCL) als nodes V x {\displaystyle V_{x}} i V p {\displaystyle V_{p}} s'obtenen les equacions:

V x − V i Z 1 + V x − V p Z 2 + V x − V o Z 3 = 0. {\displaystyle {\frac {V_{x}-V_{i}}{Z_{1}}}+{\frac {V_{x}-V_{p}}{Z_{2}}}+{\frac {V_{x}-V_{o}}{Z_{3}}}=0.}

 

 

 

 

(2)

V p − V x Z 2 + V p Z 4 = 0. {\displaystyle {\frac {V_{p}-V_{x}}{Z_{2}}}+{\frac {V_{p}}{Z_{4}}}=0.}

 

 

 

 

(3)

Substituint les variables (1) en les equacions (2) i (3) i arranjant aquestes darreres en forma matricial s'obté,


[ 1 Z 1 + 1 Z 2 + 1 Z 3 − 1 Z 2 − 1 Z 3 − 1 Z 2 1 Z 2 + 1 Z 4 ] ⋅ [ V x V o ] = [ V i Z 1 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+{\frac {1}{Z_{3}}}&-{\frac {1}{Z_{2}}}-{\frac {1}{Z_{3}}}\\-{\frac {1}{Z_{2}}}&{\frac {1}{Z_{2}}}+{\frac {1}{Z_{4}}}\end{bmatrix}}\cdot {\Biggl [}{\begin{matrix}V_{x}\\V_{o}\end{matrix}}{\Biggr ]}={\begin{bmatrix}{\frac {V_{i}}{Z_{1}}}\\0\end{bmatrix}}}

 

 

 

 

(4)


Resolent aquest sistema per V o {\displaystyle V_{o}} aplicant, per exemple, la regla de Cramer resulta,

V o = Z 3 Z 4 Z 1 Z 2 + Z 1 Z 3 + Z 2 Z 3 + Z 3 Z 4 ⋅ V i . {\displaystyle V_{o}={\frac {Z_{3}Z_{4}}{Z_{1}Z_{2}+Z_{1}Z_{3}+Z_{2}Z_{3}+Z_{3}Z_{4}}}\cdot V_{i}.}

 

 

 

 

(5)

Vegeu també

Referències

  1. ↑ R.E. Thomas; A.J. Rosa; G.J. Toussaint. The Analysis & Design of Linear Circuits. John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 978-1118065587. 
  2. ↑ 2,0 2,1 S. Winder. Analog and Digital Filter Design. Newnes. ISBN 978-0750675475.