Galoisova grupa
Galoisova grupa je pojem z algebry. Je to grupa definována pro těleso a jeho konečné rozšíření. Studium rozšíření těles pomocí Galoisovy grupy souvisí s Galoisovou teorií, která vznikla jako nástroj pro popis řešení polynomiálních rovnic. Historicky stál u zrodu této teorie Évariste Galois, který je považován za zakladatele teorie grup.
Definice
Nechť je rozšíření tělesa (zapisuje se jako ). Automorfizmus je takový automorfizmus tělesa , který zachovává všechny prvky , tj. pro každé . Množina všech automorfizmů spolu s operací skládání tvoří grupu, která se nazývá Galoisova grupa. Značí se , anebo .
Příklady
- obsahuje dva prvky: identitu a komplexní sdružení.
- Nechť je těleso racionálních čísel a . Pak obsahuje identitu a zobrazení .
- Nechť je prvočíslo a je Galoisovo těleso o prvcích, jeho nejmenší podtěleso. Pak je cyklická grupa řádu .
- Nechť je ireducibilní polynom s racionálními koeficienty stupně , jeho rozkladové těleso a nechť má v právě dva nereálné kořeny. Pak (někdy se také nazývá Galoisova grupa polynomu ) je izomorfní symetrické grupě . Její prvky permutují kořeny polynomu .
Vlastnosti
Fundamentální věta Galoisovy teorie tvrdí, že podgrupy Galoisovy grupy odpovídají mezitělesům .[1] Tato korespondence přiřadí podgrupě podtěleso , které je fixováno touto podgrupou.
V případě nekonečného rozšíření uvažujeme v této korespondenci pouze uzavřené podgrupy vůči tzv. Krollově topologii.
Galoisovy grupy se začaly zkoumat v souvislosti se snahou řešit polynomiální rovnice vyššího stupně pomocí sčítání, odčítání, násobení, dělení a odmocnin racionálních čísel a koeficientů daného polynomu. Takové řešení existuje právě když Galoisova grupa polynomu je řešitelná.
Reference
Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty. |