Die Dreiecksungleichung ist in der Geometrie ein Satz, der besagt, dass eine Dreiecksseite höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seiten ist. Das „höchstens“ schließt dabei den Sonderfall der Gleichheit ein. Die Dreiecksungleichung spielt auch in anderen Teilgebieten der Mathematik wie der Linearen Algebra oder der Funktionalanalysis eine wichtige Rolle.
Inhaltsverzeichnis
1Formen der Dreiecksungleichung
1.1Für allgemeine Dreiecke
1.2Für rechtwinklige Dreiecke
1.3Für reelle Zahlen
1.3.1Umgekehrte Dreiecksungleichung
1.4Für komplexe Zahlen
1.5Von Betragsfunktionen für Körper
1.6Für Summen und Integrale
1.7Für Vektoren
1.8Für sphärische Dreiecke
1.9Für normierte Räume
1.10Für metrische Räume
2Siehe auch
3Einzelnachweise
Formen der Dreiecksungleichung
Für allgemeine Dreiecke
Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Längen zweier Seiten und stets mindestens so groß wie die Länge der dritten Seite :
.
Man kann auch sagen, der Abstand von A nach B ist stets höchstens so groß wie der Abstand von A nach C und von C nach B zusammen, oder um es alltagssprachlich auszudrücken: „Der direkte Weg ist immer der kürzeste.“
Das Gleichheitszeichen gilt dabei nur, wenn und Teilstrecken von sind – man spricht dann auch davon, dass das Dreieck „entartet“ sei.
Da aus Symmetriegründen auch gilt, folgt , analog erhält man , insgesamt also
.
Die linke Ungleichung wird gelegentlich auch als umgekehrte Dreiecksungleichung bezeichnet.
Die Dreiecksungleichung charakterisiert Abstands- und Betragsfunktionen. Sie wird daher als ein Axiom für abstrakte Abstandsfunktionen in metrischen Räumen gesetzt.
Für rechtwinklige Dreiecke
Ist die Hypotenusenlänge und sind und die Kathetenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks, so gilt die spezielle Dreiecksungleichung .[1][2]
Veranschaulichung für den Fall der Ungleichheit
Veranschaulichung für den Fall der Gleichheit
Für reelle Zahlen
Für reelle Zahlen und gilt:
Beweis
Seien und reelle Zahlen. Entweder es ist oder es ist . Für den Fall gilt , und die Summe lässt sich wegen und nach oben abschätzen durch . Insgesamt folgt somit . Für den Fall gilt , und lässt sich wegen und ebenfalls durch nach oben abschätzen, so dass auch in diesem Fall .
Umgekehrte Dreiecksungleichung
Wie beim Dreieck lässt sich auch eine umgekehrte Dreiecksungleichung herleiten:
Aufgrund der Dreiecksungleichung gilt Einsetzen von gibt
Setzt man stattdessen so ergibt sich
zusammen also (denn für beliebige reelle Zahlen und mit und gilt auch )
Ersetzt man durch so erhält man auch
Insgesamt also
für alle
Für komplexe Zahlen
Für komplexe Zahlen gilt:
Beweis
Da alle Seiten nichtnegativ sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung und man erhält
wobei der Überstrich komplexe Konjugation bedeutet. Streicht man identische Terme und setzt so bleibt
zu zeigen. Mit erhält man
bzw.
was wegen und der Monotonie der (reellen) Wurzelfunktion immer erfüllt ist.
Analog zum reellen Fall folgt aus dieser Ungleichung auch
für alle
Von Betragsfunktionen für Körper
Zusammen mit anderen Forderungen wird eine Betragsfunktion für einen Körper auch durch die
Dreiecksungleichung
etabliert. Sie hat zu gelten für alle Sind alle Forderungen (s. Artikel Betragsfunktion) erfüllt, dann ist eine Betragsfunktion für den Körper
Ist für alle ganzen , dann nennt man den Betrag nichtarchimedisch, andernfalls archimedisch.
Bei nichtarchimedischen Beträgen gilt die
verschärfte Dreiecksungleichung
Sie macht den Betrag zu einem ultrametrischen. Umgekehrt ist jeder ultrametrische Betrag nichtarchimedisch.
In einem metrischen Raum wird als Axiom für die abstrakte Abstandsfunktion verlangt, dass die Dreiecksungleichung in der Form
für alle erfüllt ist. In jedem metrischen Raum gilt also per Definition die Dreiecksungleichung. Daraus lässt sich ableiten, dass in einem metrischen Raum auch die umgekehrte Dreiecksungleichung
für alle gilt. Außerdem gilt für beliebige die Ungleichung
↑Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag BerlinHeidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 18