Faktorion
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/Pickover.jpg)
In der Zahlentheorie ist ein Faktorion (englisch Factorion) eine natürliche Zahl , welche der Summe der Fakultäten ihrer Stellen gleich ist.[1][2]
Mit anderen Worten und etwas allgemeiner (und mathematischer) mit Basis (also nicht nur im Dezimalsystem mit Basis ):
- Sei eine natürliche Zahl. Die Summe der Fakultät ihrer Stellen (Digits) sei für eine Basis wie folgt definiert:[3]
- wobei die Anzahl der Stellen der Zahl in der Basis angibt. ist die Fakultät von und
- ist der Wert der -ten Stelle der Zahl .
Eine natürliche Zahl nennt man -Faktorion, wenn sie zur Basis ein Fixpunkt der Abbildung ist, wenn also gilt.[4]
Der Name Faktorion stammt vom amerikanischen Mathematiker und Autor Clifford A. Pickover.[5]
Beispiele
- Sei im Dezimalsystem (also zur Basis ). Dann gilt:
- Somit ist ein Faktorion zur Basis 10.
- Sei im Dezimalsystem (also zur Basis ). Dann gilt:
- Somit ist ein Faktorion zur Basis 10.
- Es folgt eine Liste aller Faktorionen im Dezimalsystem:
- 1, 2, 145, 40585 (Folge A014080 in OEIS)
- Es ist im Quinärsystem (also zur Basis ). Dann gilt:
- Somit ist ein Faktorion zur Basis 5.
- Es ist im Nonärsystem (also zur Basis ). Dann gilt:
- Somit ist ein Faktorion zur Basis 9.
Eigenschaften
- Im Dezimalsystem gibt es nur 4 Faktorionen, nämlich 1, 2, 145 und 40585.[3][6]
- Die Zahlen und sind Fixpunkte der Funktion für alle Basen und somit triviale Faktorionen für alle . Alle anderen Faktorionen sind nichttriviale Faktorionen.
- Beweis:
- Es ist und .
- Im Dualsystem, also mit der Basis , ist und es gilt: .
- Beweis:
- Im Dualsystem (also mit der Basis ) ist die Summe der Fakultät der Ziffern die Anzahl der Ziffern selbst.
- Beweis:
- Es ist . Weil jede Zahl im Dualsystem nur aus Nullen und Einsen besteht und deren Fakultät ebenfalls immer je Eins ist, erhält man mit der Funktion die Anzahl der Ziffern von .
- Beweis:
- Für jede gegebene Basis gibt es nur eine endliche Anzahl von Faktorionen.
- Beweis:
- Man untersuche (zunächst einmal) im Dezimalsystem (also mit Basis ) den Maximalwert, den mit einer -stelligen Dezimalzahl erreichen kann. Eine -stellige Dezimalzahl mit maximal großen Ziffern besteht aus 9ern. Somit muss für die Funktion gelten: .
- Betrachtet man nun eine allgemeine -stellige Dezimalzahl und die soeben betrachtete Ungleichung , die für alle -stelligen Dezimalzahlen gilt. Es gibt nur dann Faktorionen, solange gilt. Es ist aber sicherlich . Somit erhält man die Ungleichung .
- Wenn nun aber die Anzahl der Stellen ist, müsste laut der obigen Ungleichung noch immer gelten. Dies ist aber nur dann der Fall, wenn und somit ist, was ein Widerspruch zur Annahme ist, dass sein soll. Die Bedingung stimmt also für nicht mehr, es kann also keine Faktorionen im Dezimalsystem geben, die 10 oder mehr Stellen haben.
- Verallgemeinert man obige Überlegungen auf allgemeine Basen , so erhält man die Ungleichung und wegen (für ) gilt weiters . Wenn nun auch hier die Anzahl der Stellen ist, müsste laut dieser Ungleichung noch immer gelten. Dies ist aber nur dann der Fall, wenn und somit ist, was ein Widerspruch zur Annahme ist, dass sein soll. Die Bedingung stimmt also für nicht mehr, es kann also keine Faktorionen im Zahlensystem mit Basis geben, die oder mehr Stellen haben. Die Anzahl der Faktorionen ist also nach oben hin begrenzt, es gibt somit nur endlich viele Faktorionen, was zu zeigen war.
- Beweis:
- Für alle Basen zusammengenommen gibt es unendlich viele Faktorionen.
- Beweis:
- Es gibt Faktorionen-Gruppen, ohne auf die spezielle Basis eingehen zu müssen. Diese Gruppen bestehen aus unendlich vielen Faktorionen. Siehe weiter unten.
- Beweis:
Gesellige und befreundete Faktorionen
Eine natürliche Zahl nennt man geselliges Faktorion, wenn man nach -facher Anwendung von auf diese Zahl wieder genau diese Zahl erhält. ist dann ein periodischer Punkt und formt eine periodische Folge (oder Zykel) der Periodenlänge . Ist die Periodenlänge , so nennt man das gesellige Faktorion auch befreundetes Faktorion. Ist also ein befreundetes Faktorion-Paar, so ist und .[3]
Beispiele
- Sei die Basis , also das Dezimalsystem.
- Die Summe der Fakultäten der Ziffern von ist .
- Die Summe der Fakultäten der Ziffern von ist .
- Somit ist und . Es ist also ein periodischer Punkt, formt eine periodische Folge der Periodenlänge . Somit ist ein befreundetes Faktorion-Paar zur Basis .
- Es folgt eine Liste aller befreundeten Faktorion-Paare im Dezimalsystem:
- (871, 45361), (872, 45362) (Folge A214285 in OEIS)
- Sei die Basis , also das Dezimalsystem.
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist .
- Somit ist . Es ist also ein periodischer Punkt, formt eine periodische Folge der Periodenlänge . Somit ist ein geselliges Faktorion-Tripel zur Basis .[3]
- Es folgt eine Tabelle, der man alle Faktorionen und ausgewählte Zykel bis zur Basis ablesen kann:
Basis | Faktorionen zu dieser Basis im Dezimalsystem (Folge A193163 in OEIS) | Zykel geselliger und befreundeter Faktorione zur jeweiligen Basis |
---|---|---|
01 | (alle natürlichen Zahlen) | |
02 | keine | |
03 | keine | |
04 | ||
05 | keine | |
06 | keine | |
07 | ||
08 | , | |
09 | ||
10 | , , | |
11 | ||
12 | ||
13 | ||
14 | ||
15 | ||
16 | ||
17 | ||
18 | ||
19 | ||
20 | ||
21 | ||
22 | ||
23 | ||
24 | ||
25 | ||
26 | ||
27 | ||
28 | ||
29 | ||
30 | ||
31 | ||
32 | ||
33 | ||
34 | ||
35 | ||
36 | ||
37 | ||
38 | ||
39 |
Eigenschaften
- Ein Faktorion ist ein geselliges Faktorion mit Periodenlänge .
- Es gibt nur zwei befreundete Faktorion-Paare im Dezimalsystem, nämlich und .[3][7]
- Für jede gegebene Basis gibt es nur eine endliche Anzahl von Zyklen.
Ermitteln von Gruppen von Faktorionen
Man kann gewisse Gruppen von Faktorionen ermitteln, ohne auf die spezielle Basis eingehen zu müssen.
- Sei eine positive ganze Zahl im Zahlensystem mit der Basis . Dann gilt:
- ist ein Faktorion zur Basis für alle (in Dezimalschreibweise geschrieben).
- ist ein Faktorion zur Basis für alle (in Dezimalschreibweise geschrieben).
- Beweis der 1. Behauptung:
- Es ist .
- Weiters ist die Darstellung von zur Basis . Es sei also die Zehnerstelle und die Einerstelle von . Es gilt:
- Somit ist ein Faktorion für alle zur Basis b.
- Für gilt diese Behauptung nicht, weil sonst die Basis wäre und in diesem Zahlensystem die Form hätte, obwohl es in diesem Zahlensystem die Ziffer gar nicht gibt. Analog verhält es sich mit und .
- Beweis der 2. Behauptung:
- Es ist .
- Weiters ist die Darstellung von zur Basis . Es sei also die Zehnerstelle und die Einerstelle von . Es gilt:
- Somit ist ein Faktorion für alle zur Basis b.
- Für gilt diese Behauptung nicht, weil sonst die Basis wäre und in diesem Zahlensystem die Form hätte, obwohl es in diesem Zahlensystem diese Ziffern gar nicht gibt. Analog verhält es sich mit und .
- Beispiel:
- Beweis der 1. Behauptung:
Basis Faktorion 4 6 5 24 6 120 7 720 8 5040
- Sei eine positive ganze Zahl im Zahlensystem mit der Basis . Dann gilt:
- ist ein Faktorion zur Basis für alle (in Dezimalschreibweise geschrieben)
- Beweis:
- Es ist .
- Weiters ist die Darstellung von zur Basis . Es sei also die Zehnerstelle und die Einerstelle von . Dann ist und es gilt:
- Für gilt diese Behauptung nicht, weil sonst die Basis wäre und in diesem Zahlensystem die Form hätte, obwohl es in diesem Zahlensystem die Ziffer gar nicht gibt.
- Somit ist ein Faktorion für alle zur Basis b.
- Beispiel:
- Beweis:
Basis Faktorion
3 4 4 21 5 116 6 715 7 5034
Siehe auch
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Factorion. In: MathWorld (englisch).
- Programme zur Berechnung von Faktorionen. rosettacode.org, abgerufen am 1. April 2022.
- number theory part 3 -5 Factorion auf YouTube
Einzelnachweise
- ↑ Martin Gardner: Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-Of-Mind. Factorial Oddities. Hrsg.: Vintage Books. 1978, ISBN 978-0-394-72623-6, S. 61, 64 ([1] auf books.google.at).
- ↑ Joseph S. Madachy: Madachy's Mathematical Recreations. Hrsg.: Dover Publications. 1979, ISBN 978-0-394-40822-4, S. 167 ([2] auf books.google.at).
- ↑ a b c d e Shyam Sunder Gupta: Sum of the factorials of the digits of integers. The Mathematical Gazette 88 (512), Juli 2004, S. 258–261, abgerufen am 16. April 2022.
- ↑ Steve Abbott: SFD chains and factorion cycles. The Mathematical Gazette 88 (512), Juli 2004, S. 261–263, abgerufen am 16. April 2022.
- ↑ Clifford A. Pickover: Keys To Infinity. The Loneliness of the Factorions. Hrsg.: John Wiley & Sons. 1995, ISBN 978-0-471-11857-2, S. 169–171, 319–320 ([3] auf scribd.com).
- ↑ Comments zur Folge A014080 in OEIS
- ↑ Comments zur Folge A214285 in OEIS