Fejér-Polynome

In der Mathematik ist für eine ${\displaystyle 2\pi }$-periodische, stetige Funktion ${\displaystyle f}$, das heißt ${\displaystyle f\in C_{2\pi }}$, das ${\displaystyle n}$-te Fejér-Polynom ${\displaystyle \sigma _{n}(f)}$ definiert durch

${\displaystyle \sigma _{n}(f)(x):=\sum _{k=-n}^{n}\left(1-{\frac {\left|k\right|}{n+1}}\right){\hat {f}}(k)\,\mathrm {e} ^{ikx},}$

wobei

${\displaystyle {\hat {f}}(k):={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\,\mathrm {e} ^{-ikt}\mathrm {d} t}$

der ${\displaystyle k}$-te Fourier-Koeffizient ist. Mit Hilfe dieser trigonometrischen Polynome lieferte Fejér einen konstruktiven Beweis für den Satz von Weierstraß, der aussagt, dass jede ${\displaystyle 2\pi }$-periodische, stetige Funktion durch trigonometrische Polynome gleichmäßig approximiert werden kann. Diese Aussage wird auch als Satz von Fejér bezeichnet.

Fejér führte den Beweis über das (erste) arithmetische Mittel der Partialsummen der Fourierreihe

${\displaystyle \sigma _{n}(f)(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}S_{k}(f)(x),}$

wobei

${\displaystyle S_{k}(f)(x):=\sum _{j=-k}^{k}{\hat {f}}(j)\,\mathrm {e} ^{ijx}}$

die ${\displaystyle k}$-te Partialsumme ist, indem er zeigte:

Für jede ${\displaystyle 2\pi }$-periodische, stetige Funktion ${\displaystyle f}$ konvergiert die Folge der Fejér-Polynome ${\displaystyle \sigma _{n}(f)}$ gleichmäßig gegen ${\displaystyle f}$, d. h.

${\displaystyle f\in C_{2\pi }\Rightarrow \lim \limits _{n\to \infty }\|\sigma _{n}(f)-f\|_{C_{2\pi }}=\lim \limits _{n\to \infty }\left(\max \limits _{x\in [-\pi ,\pi ]}|\sigma _{n}(f)(x)-f(x)|\right)=0.}$

Der n-te Fejér-Kern ${\displaystyle \sigma _{n}(x)}$ ist definiert durch

${\displaystyle \sigma _{n}(x):=\sum _{k=-n}^{n}\left(1-{\frac {\left|k\right|}{n+1}}\right)\mathrm {e} ^{ikx}}$.

Die Fejér-Polynome lassen sich als Faltung mit dem Fejér-Kern darstellen. Es gilt

${\displaystyle \sigma _{n}(f)(x)=(\sigma _{n}*f)(x):={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\sigma _{n}(x-t)\mathrm {d} t}$

Aus der Interpretation der Fejér-Polynome als (erstes) arithmetisches Mittel der Partialsummen folgt die Darstellung des Fejér-Kerns als arithmetisches Mittel des Dirichlet-Kerns

${\displaystyle \sigma _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x)}$

wobei der Dirichlet-Kern definiert ist über

${\displaystyle D_{n}(x):=\sum _{k=-n}^{n}\mathrm {e} ^{ikx}}$

Neben der Summenschreibweise über komplexe Funktionen lässt sich der Fejér-Kern auch in einer geschlossenen Form darstellen. Hierzu wird verwendet, dass der Dirichlet-Kern die Darstellung

${\displaystyle D_{k}(x)=1+2\sum _{j=1}^{k}\cos(jx)={\frac {\sin \left({\frac {2k+1}{2}}x\right)}{\sin(x/2)}}}$

besitzt. Mit Hilfe des obigen Zusammenhangs des Fejér-Kerns mit den Dirichlet-Kernen und der Regel

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sin \left({\frac {2k+1}{2}}x\right)={\frac {\sin ^{2}\left({\frac {n+1}{2}}x\right)}{\sin \left(x/2\right)}}}$

ergibt sich die folgende geschlossene Darstellung des Fejér-Kerns.

${\displaystyle \sigma _{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n+1}}\left({\frac {\sin \left({\frac {n+1}{2}}x\right)}{\sin({\frac {x}{2}})}}\right)^{2}&,x\neq 2j\pi \\n+1&,x=2j\pi \end{cases}},j\in \mathbb {Z} }$

Aufgrund der daraus ersichtlichen Positivität des Fejér-Kern kann für den Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz der Fejér-Polynome der Satz von Bohman-Korowkin angewendet werden, der besagt, dass aus der gleichmäßigen Konvergenz der Testfunktionen ${\displaystyle \sin }$ und ${\displaystyle \cos }$ die gleichmäßige Konvergenz für alle Funktionen ${\displaystyle f\in C_{2\pi }}$ folgt.

Auch für nichtstetige Funktionen anderer Funktionenräume, z. B. der Lebesgue-integrierbaren Funktionen, lassen sich Aussagen zur Approximierbarkeit angeben.

Für Hölder-stetige Funktionen ${\displaystyle f}$ lassen sich direkte Abschätzungen zum Konvergenzverhalten der Fejér-Polynome angeben.

Gehört ${\displaystyle f}$ für ein ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$ zur Klasse der Hölder-stetigen Funktionen ${\displaystyle C^{\alpha }}$, d. h.

${\displaystyle \|f(\cdot +h)-f(\cdot )\|_{C_{2\pi }}={\mathcal {O}}(|h|^{\alpha }),h\to 0,}$

so gelten die folgenden quantitativen Approximationsaussagen:

${\displaystyle \|\sigma _{n}(f)-f\|_{C_{2\pi }}={\begin{cases}{\mathcal {O}}(|{\frac {1}{n}}|^{\alpha })&,0<\alpha <1\\{\mathcal {O}}\left({\frac {\log(n)}{n}}\right)&,\alpha =1\end{cases}},n\to \infty }$

• N. I. Achieser: Vorlesungen über Approximationstheorie. Akademie-Verlag, Berlin 1953.
• P. L. Butzer, R. J. Nessel: Fourier Analysis And Approximation, Vol. 1: One-Dimensional Theory. Birkhäuser, Basel 1971.
• Leopold Fejér: Über trigonometrische Polynome. In: J. Reine Angew. Math. Band 146, 1916, Seiten 53–82.
• Leopold Fejér: Gestaltliches über die Partialsummen und ihre Mittelwerte bei der Fourierreihe und der Potenzreihe. In: Z. Angew. Math. Mech. Band 13, 1933, Seiten 80–88.
• Antoni Zygmund: Trigonometric Series. Cambridge University Press, Cambridge 1968, 2nd Edition.