Interpolationssatz von Riesz-Thorin

Der Interpolationssatz von Riesz-Thorin (oder Konvexitätssatz von Riesz-Thorin) ist ein Resultat aus der Operatortheorie, welches sagt, dass ein linearer Operator, welcher auf zwei L^p-Räumen (für unterschiedliche ${\displaystyle p}$) beschränkt ist, auch auf allen ${\displaystyle L^{p}}$-Räumen für dazwischen liegende ${\displaystyle p}$ beschränkt ist. Die Aussage gilt dabei für ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$. Das heißt also, zeigt man das ein Operator zum Beispiel auf ${\displaystyle L^{1}}$ und ${\displaystyle L^{\infty }}$ beschränkt ist, so gilt die Aussage nach dem Interpolationssatz auch für ${\displaystyle L^{p}}$ mit ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$.

Die ursprüngliche reelle Variante des Satzes wurde 1926 (^[1]) von dem ungarischen Mathematiker Marcel Riesz bewiesen; sein schwedischer Student G. Olof Thorin erweiterte ihn 1936 (^[2]) dann auf die heutige komplexe Form. Die reelle Variante benötigt eine zusätzliche Restriktion in Form von ${\displaystyle p_{k}\leq q_{k}}$ für ${\displaystyle k=0,1}$. Geometrisch gesehen führt dies dazu, dass die dazwischen liegenden Räume, welche mit ${\displaystyle L^{p}}$ und ${\displaystyle L^{q}}$ notiert werden, als Punkte ${\displaystyle (1/p,1/q)}$ in einem unteren Dreieck liegen. Im komplexen hingegen sind die Punkte im Quadrat ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$.

Der Satz ist neben dem Interpolationssatz von Marcinkiewicz eine der Grundlagen der Interpolationstheorie für Operatoren.

Seien ${\displaystyle (U,\Sigma _{1},\mu )}$ und ${\displaystyle (V,\Sigma _{2},\nu )}$ zwei σ-endliche Maßräume. Mit ${\displaystyle L^{p}(U,\Sigma _{1},\mu )}$ bezeichnen wir die ${\displaystyle L^{p}}$-Räume für komplex-wertige Funktionen und mit ${\displaystyle \|T\|_{L^{a},L^{b}}}$ die Operatornorm

${\displaystyle \|T\|_{L^{a},L^{b}}=\sup \limits _{f\neq 0}{\frac {\|Tf\|_{L^{b}}}{\|f\|_{L^{a}}}}.}$

Wir formulieren nur den komplexen Fall vollständig, da der reelle Fall nur eine kleine Modifikation benötigt.

Seien ${\displaystyle p_{0},p_{1},q_{0},q_{1}\in [1,\infty ]}$ mit ${\displaystyle p_{0}\neq p_{1}}$ und ${\displaystyle q_{0}\neq q_{1}}$, sowie ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$.

Sei ${\displaystyle T}$ ein beschränkter linearer Operator, so dass

${\displaystyle T:L^{p_{0}}(U,\Sigma _{1},\mu )+L^{p_{1}}(U,\Sigma _{1},\mu )\to L^{q_{0}}(V,\Sigma _{2},\nu )+L^{q_{1}}(V,\Sigma _{2},\nu )}$

mit

${\displaystyle \|T\|_{L^{p_{0}},L^{q_{0}}}=M_{0}\quad }$ und ${\displaystyle \quad \|T\|_{L^{p_{1}},L^{q_{1}}}=M_{1}.}$

Dann ist die Einschränkung

${\displaystyle T:L^{p}(U,\Sigma _{1},\mu )\to L^{q}(V,\Sigma _{2},\nu )}$

beschränkt mit Norm

${\displaystyle \|T\|_{L^{p},L^{q}}\leq M_{0}^{1-\theta }M_{1}^{\theta }}$

wobei ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ durch

${\displaystyle {\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}}\quad }$ und ${\displaystyle \quad {\frac {1}{q}}={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}}$

gegeben sind.^[3]

Damit die Aussage im reellen Fall auch gilt, muss zusätzlich ${\displaystyle p_{0}\leq q_{0}}$ und ${\displaystyle p_{1}\leq q_{1}}$ gelten. Außerdem ändert sich die Abschätzung der Norm auf^[4]

${\displaystyle \|T\|_{L^{p},L^{q}}\leq 2M_{0}^{1-\theta }M_{1}^{\theta }.}$

• Der Satz kann verwendet werden, um die Faltungsungleichung von Young zu beweisen.

• C. Bennett und R. C. Sharpley: Interpolation of Operators. Hrsg.: Elsevier Science. Niederlande 1988. 
• J. Löfström und J. Bergh: Interpolation Spaces: An Introduction. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. Deutschland 1976. 

1. ↑ M. Riesz: Sur les maxima des formes bilinéaires et sur les fonctionnelles linéaires. In: Acta Math. Nr. 49, 1926, S. 465–497. 
2. ↑ G.O. Thorin: An extension of a convexity theorem due to M. Riesz. In: K. Fysiogr. Saallskap. i Lund Forh. Band 8, Nr. 14, 1936. 
3. ↑ J. Löfström und J. Bergh: Interpolation Spaces: An Introduction. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. Deutschland 1976, S. 2. 
4. ↑ C. Bennett und R. C. Sharpley: Interpolation of Operators. Hrsg.: Elsevier Science. Niederlande 1988, S. 196.