Die Quadratsummen-Funktion (engl. sum of squares function) ist eine zahlentheoretische Funktion, die angibt, auf wie viele Arten eine gegebene natürliche Zahl als Summe von Quadraten ganzer Zahlen dargestellt werden kann, wobei alle Vertauschungen und Vorzeichenkombinationen mitgezählt werden.
Inhaltsverzeichnis
1Definition
2Durchschnittliche Größenordnung
3Erzeugende Funktion
4Spezielle Fälle
5Beziehung zur Sierpiński-Konstanten
6Siehe auch
7Weblinks
8Einzelnachweise
Definition
Die ersten Werte von rk (Primzahlen mit hellblauen Hintergrund)
n
n
r1(n)
r2(n)
r3(n)
r4(n)
r5(n)
r6(n)
r7(n)
r8(n)
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
4
6
8
10
12
14
16
2
2
0
4
12
24
40
60
84
112
3
3
0
0
8
32
80
160
280
448
4
22
2
4
6
24
90
252
574
1136
5
5
0
8
24
48
112
312
840
2016
6
2‧3
0
0
24
96
240
544
1288
3136
7
7
0
0
0
64
320
960
2368
5504
8
23
0
4
12
24
200
1020
3444
9328
9
32
2
4
30
104
250
876
3542
12112
10
2‧5
0
8
24
144
560
1560
4424
14112
11
11
0
0
24
96
560
2400
7560
21312
12
22‧3
0
0
8
96
400
2080
9240
31808
13
13
0
8
24
112
560
2040
8456
35168
14
2‧7
0
0
48
192
800
3264
11088
38528
15
3‧5
0
0
0
192
960
4160
16576
56448
16
24
2
4
6
24
730
4092
18494
74864
17
17
0
8
48
144
480
3480
17808
78624
18
2‧32
0
4
36
312
1240
4380
19740
84784
19
19
0
0
24
160
1520
7200
27720
109760
20
22‧5
0
8
24
144
752
6552
34440
143136
Die Funktion ist für alle und definiert als[1]
d. h. als Anzahl der Darstellungsmöglichkeiten von als Summe von Quadraten ganzer Zahlen mit .
Beispielsweise gilt
für alle . Es ist
,
da mit jeweils 2 Vorzeichenkombinationen gilt, und auch
wegen mit 4 Vorzeichenkombinationen. Andererseits ist
,
weil es keine Darstellung der Zahl 3 als Summe von 2 Quadraten gibt.
Aus der Definition folgt sofort die Beziehung
aus der sich eine Rekursionsformel zur effizienten Berechnung ableiten lässt:
Durchschnittliche Größenordnung
Es sei[2]
.
Das ist anschaulich die Anzahl der (ganzzahligen) Gitterpunkte in einer -dimensionalen Kugel mit dem Radius und darum näherungsweise gleich dem Kugelvolumen. Genauer lässt sich rekursiv ableiten
,
wobei das Landau-Symbol ist und die Konstanten die Volumina der -dimensionalen Einheitskugeln sind:
Die erzeugende Funktion erhält man als Potenz der Jacobischen Thetafunktion für den Spezialfall . Dafür gilt
Man erhält daraus
.
Spezielle Fälle
Einige spezielle Formeln sind z. B. (für ):
Für gilt:
Mit Hilfe der Primfaktorzerlegung , wobei die Primfaktoren der Form und die Primfaktoren der Form sind, ergibt sich als weitere Formel
,
wenn alle Exponenten gerade sind. Ist mindestens ein ungerade, dann ist . Nach Definition ist auch die Anzahl der Gaußschen Zahlen mit der Norm.
Für bewies Gauß eine Formel für quadratfreie Zahlen
wobei die Klassenzahl einer ganzen Zahl bezeichnet.
Für beliebige gilt nach dem Drei-Quadrate-Satz genau dann, wenn sich in der Form darstellen lässt.[3]
Die Formel für stammt von Carl Gustav Jacob Jacobi und liefert als achtfache Summe aller Teiler von die nicht durch 4 teilbar sind (Satz von Jacobi):
ist auch die Anzahl aller Lipschitz-Quaternionen mit der Norm .
Jacobi fand auch eine explizite Formel für :
Beziehung zur Sierpiński-Konstanten
Der Limes
existiert und wird (nach Wacław Sierpiński) als Sierpiński-Konstante bezeichnet. Diese lässt sich durch die Kreiszahl, die Euler-Mascheroni-Konstante und die Gammafunktion ausdrücken: