Nollanjakaja

Renkaan R alkiota a kutsutaan vasemmanpuoleiseksi nollanjakajaksi, jos R:ssä on nollasta poikkeava x siten, että ax = 0. Vastaavasti renkaan alkiota a kutsutaan oikeaksi nollan jakajaksi, jos R :ssä on nollasta poikkeava y, jolla ya = 0 .

Nollanjakaja on alkio, joka on vasen tai oikea nollan jakaja. Kaksipuolinen nollanjakaja on alkio, joka on sekä vasen että oikea nollan jakaja (nollasta poikkeava x, jolla ax = 0 voi olla eri kuin nollasta poikkeava y, jolla ya = 0).

Jos rengas on kommutoiva, niin vasemmat ja oikeat nollanjakaja ovat samat.

Kommutatiivinen rengas R on kokonaisalue, jos 0 on sen ainoa nollanjakaja mutta ${\displaystyle R\neq \{0\}}$.

• Renkaassa ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$, jakojäännösluokka ${\displaystyle {\overline {2}}}$ on nollajakaja, koska ${\displaystyle {\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}}$ .
• Kokonaislukujen renkaan ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ainoa nollanjakaja on ${\displaystyle 0}$.
• Nollasta poikkeavan renkaan nilpotentti elementti on aina kaksipuolinen nollanjakaja.
• Renkaan idempotentti alkio ${\displaystyle e\neq 1}$ on aina kaksipuolinen nollanjakaja, koska ${\displaystyle e(1-e)=0=(1-e)e}$ .
• n × n-neliömatriisien rengas jonkin kunnan yli omaa nollasta poikkeavia nollanjakajia, jos n ≥ 2. Esimerkkejä nollan jakajista 2×2-matriiseilla (millä tahansa nollasta poikkeavalla renkaalla) näytetään tässä:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}$$

• Käsitellään rengasta (muodollisista) matriiseista${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}$ missä ${\displaystyle x,z\in \mathbb {Z} }$ ja ${\displaystyle y\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$. Tällöin ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}}}$ ja ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}}}$. Jos ${\displaystyle x\neq 0\neq z}$, niin ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}$ on vasen nollanjakaja jos ja vain jos ${\displaystyle x}$ on parillinen, koska ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}}}$, ja se on oikea nollanjakaja jos ja vain jos ${\displaystyle z}$ is parillinen (vastaavista syistä). Jos ${\displaystyle x}$ tai ${\displaystyle z}$ on ${\displaystyle 0}$, se on kaksipuolinen nollanjakaja.

• Tarkastellaan n × n matriisia jonkin kunnan yli. Tällöin vasemmat ja oikeat nollanjakajat ovat samat ja ne ovat sama joukko kuin singulaarimatriisit. n × n-matriisien renkaassa kokonaisideaalialueen yli nollanjakajat täsmälleen ne matriisit, joiden determinantti nolla.
• Vasen tai oikea nollan jakaja ei voi koskaan olla yksikköä, koska jos a on käännettävä ja ax = 0 jollekin nollasta poikkeavalle x lle, niin ${\displaystyle 0=a^{-1}0=a^{-1}ax=x}$, mikä on ristiriita.
• Jos a ei ole vasen nollanjakaja, niin ax = ay tarkoittaa, että x = y.
• Jos b ei ole oikea nollanjakaja, niin xb = yb tarkoittaa, että x = y.

Olkoon R kommutatiivinen rengas, olkoon M R-moduuli ja a R:n alkio. Sanotaan, että a on M -säännöllinen, jos "kertominen a:lla" eli ${\displaystyle M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M}$ on injektiivinen, muutoin sanotaan, että a on M:n nollajakaja.

Tämän sivun alussa annettu määritelmä on tuon määritelmän rajoittuma tapaukseen M=R.

• Zero divisor, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. Zero Divisor. MathWorld.