En mathématiques, le développement en cotangente continue d'un nombre réel est une écriture de ce nombre utilisant une suite de nombres entiers et la fonction cotangente. Il a été découvert par Derrick Lehmer et permet de retrouver des propriétés équivalentes à celles du développement en fraction continue, tout en permettant d'approcher le réel limite de façon plus efficace.
Définition et propriétés
En 1938, Lehmer remarque que la plupart des développements de nombres se basent sur l'itération suivante :
Le développement en cotangente continue d'un nombre réel x est la suite de nombres entiers (nk) tel que :
Développements réguliers et réduits
Le développement en cotangente continue est dit régulier si :
pour tout k, nk est un entier positif
la suite vérifie
Dans le cas où la suite est finie, l'inégalité est stricte pour le dernier nk non nul.
Un développement en cotangente continue est dit réduit s'il est interrompu à partir d'un certain terme. On en déduit une approximation rationnelle du nombre, pas forcément sous sa forme réduite.
Lehmer établit aussi que tout nombre réel x admet un développement en cotangente continue régulier unique et convergent, fini si et seulement si x est rationnel.
Liens avec le développement en fraction continue généralisée
À partir des entiers du développement en cotangente continue d'un nombre, on peut construire son développement en fraction continue généralisée. En effet, on a, puisque :
Construction du développement
Développement pour un nombre rationnel
Pour x = p/q rationnel, la suite du développement s'obtient à partir d'un algorithme similaire à l'algorithme d'Euclide pour p et q :
Initialisation
On pose p0 = p et q0 = q.
Récurrence
À l'étape k :
nk est le quotient de la division euclidienne de pk par qk
qk+1 est le reste de la division euclidienne de pk par qk
pk+1 = pknk + qk+1
L'algorithme s'arrête quand le reste est nul.
On l'applique pour x = 37/25
Étape k
Dividende
Diviseur
Équation
Quotient
Reste
Itération
0
37
25
37 = 25 × 1 + 12
1
12
37 × 1 + 25 = 62
1
62
12
62 = 12 × 5 + 2
5
2
62 × 5 + 12 = 322
2
322
2
322 = 2 × 161 + 0
161
0
Fin de l'algorithme
Soit :
Développement pour un nombre irrationnel
Pour x irrationnel, la suite du développement s'obtient par récurrence :
où est le nombre d'or et Lp désigne le nombre de Lucas d'indice p.
Constante de Lehmer
Dans sa comparaison entre les développements en fraction continue et ceux en cotangente continue, Lehmer cherche à déterminer les cas où le développement converge le plus lentement. Le développement en fraction continue à la convergence la plus lente correspond à la valeur :
Le développement en fraction cotangente continue à la convergence la plus lente correspond au cas :
soit
Ce nombre est appelée constante de Lehmer. Il a affirmé que ce nombre était transcendant mais sa preuve n'est pas valide.
Applications
Les développements en cotangente continue sont une alternatives aux fractions continues en approximation diophantienne.
Le développement en cotangente continue, grâce à sa convergence très rapide, permet de construire des formules du type de Machin très efficaces. En effet, en reprenant l'exemple du développement de 37/25 vu supra :
permet d'écrire :
soit
Références
(en) Derrick H. Lehmer, « A cotangent analogue of continued fractions », Duke Mathematical Journal, vol. 4, no 2, , p. 323-340 (DOI 10.1215/S0012-7094-38-00424-7, lire en ligne)
Tanguy Rivoal, « Propriétés diophantiennes du développement en cotangente continue de Lehmer », Monatshefte für Mathematik, vol. 150, , p. 49–71 (DOI 10.1007/s00605-006-0415-7, lire en ligne)
(en) Jeffrey Shallit, « Predictable Regular Continued Cotangent Expansions », Journal of Research of the National Bureau of Standards- B. Mathematical Sciences, vol. 80B, no 2, (lire en ligne)
Liens externes
(en) Eric W. Weisstein, « Lehmer Cotangent Expansion », sur MathWorld