Loi bêta décentrée Densité de probabilité Fonction de répartition Paramètres α > 0 {\displaystyle \alpha >0} et β > 0 {\displaystyle \beta >0} , paramètres de forme λ ∈ R {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} } , paramètre de décentralisation Support x ∈ [ 0 ; 1 ] {\displaystyle x\in [0;1]\!} Densité de probabilité ∑ j = 0 ∞ 1 j ! ( λ 2 ) j e − λ / 2 x α + j − 1 ( 1 − x ) β − 1 B ( α + j , β ) {\displaystyle \scriptstyle \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}\mathrm {e} ^{-\lambda /2}{\frac {x^{\alpha +j-1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha +j,\beta )}}} Fonction de répartition ∑ j = 0 ∞ 1 j ! ( λ 2 ) j e − λ / 2 I x ( a + j , b ) {\displaystyle \scriptstyle \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}\mathrm {e} ^{-\lambda /2}I_{x}(a+j,b)} modifier
En théorie des probabilités et en statistique, la loi bêta décentrée est une loi de probabilité continue généralisant la loi bêta (sous-entendue centrée) en la décentrant grâce à un paramètre λ {\displaystyle \lambda } , c'est-à-dire en décalant sa moyenne.
Densité de probabilité La densité de probabilité de la loi bêta décentrée est :
f ( x ) = { ∑ j = 0 ∞ 1 j ! ( λ 2 ) j e − λ / 2 x α + j − 1 ( 1 − x ) β − 1 B ( α + j , β ) pour x ∈ [ 0 , 1 ] 0 sinon {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}\mathrm {e} ^{-\lambda /2}{\frac {x^{\alpha +j-1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha +j,\beta )}}&{\hbox{ pour }}x\in [0,1]\\0&{\hbox{ sinon }}\end{cases}}} où B {\displaystyle B} est la fonction bêta , α {\displaystyle \alpha } et β {\displaystyle \beta } sont les paramètres de forme et λ {\displaystyle \lambda } est le paramètre de décentrement.
Fonction de répartition La fonction de répartition de la loi bêta décentrée est :
F ( x ) = ∑ j = 0 ∞ 1 j ! ( λ 2 ) j e − λ / 2 I x ( a + j , b ) {\displaystyle F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}\mathrm {e} ^{-\lambda /2}I_{x}(a+j,b)} où I x {\displaystyle I_{x}} est la fonction bêta incomplète régularisée , a {\displaystyle a} et b {\displaystyle b} sont les paramètres de forme et λ {\displaystyle \lambda } est le paramètre de décentrement.
Cas particuliers Quand λ = 0 {\displaystyle \lambda =0} , la loi bêta décentrée est la loi bêta .
Références (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne) (en) J.L. Jr Hodges , « On the noncentral beta-distribution », Annals of Mathematical Statistics , vol. 26, 1955 , p. 648–653 (en) G.A.F. Seber , « The non-central chi-squared and beta distributions », Biometrika , vol. 50, 1963 , p. 542–544 Portail des probabilités et de la statistique