Noyau de Fejér
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En mathématiques, et plus précisément en analyse fonctionnelle et harmonique, le noyau de Fejér est une suite de fonctions réelles 2π-périodiques permettant d'exprimer l'effet d'une somme de Cesàro sur une série de Fourier. Il tient son nom du mathématicien hongrois Lipót Fejér[1].
Définition
Le noyau de Fejér est la suite (Fn)n∈ℕ* de fonctions analytiques dont le terme de rang n, appelé noyau de Fejér d'ordre n, est la moyenne arithmétique des n premiers noyaux de Dirichlet :
Calcul
En développant la définition ci-dessus, les deux expressions classiques du noyau de Dirichlet donnent respectivement :
- si (donc, par continuité, Fn(x) = n si x est un multiple entier de 2π) ;
- .
- Si alors donc
- .
- donc
- .
Convolution
On obtient la somme de Fejér d'ordre n d'une fonction f (intégrable sur [–π, π] et 2π-périodique) en effectuant un produit de convolution de f par le noyau de Dirichlet.
Propriétés
Le noyau de Fejér est un noyau de sommabilité positif sur , c'est-à-dire que :
- ;
- ;
- .
La suite (Fn) est donc une approximation de l'unité de l'algèbre de Banach (munie de produit de convolution).
- Le noyau de Fejér est lié au noyau de Dirichlet par les relations suivantes[2] :
Références
- ↑ (de) Leopold Fejér, « Untersuchungen über Fouriersche Reihen », Mathematische Annalen, (lire en ligne)
- ↑ (en) Josée Lopez-Bonilla, Sergio Vidal Beltran et Jesus Yalja Montiel, « A Note on Dirichlet and Fejér kernels », Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones, vol. 14, no 1, , p. 101–104 (ISSN 1409-2433, lire en ligne)
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