Puissance extérieure
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En pratique : Quelles sources sont attendues ? Comment ajouter mes sources ?
La puissance extérieure p-ième d'un module E (sur un anneau commutatif) est une construction en algèbre extérieure qui est une solution au problème suivant : existe-t-il un module M, le « plus petit » possible et une application canonique φ : Ep → M telle que pour toute application multilinéaire alternée f définie sur Ep à valeur dans un module F quelconque, il existe une unique application g linéaire définie sur M à valeurs dans F telle que ?
Construction du produit extérieur
On considère le produit tensoriel :
On sait que toute application multilinéaire est en correspondance avec une application linéaire telle que :
Comme f est alternée, l'application h s'annule en tous les tenseurs décomposables tels qu'il existe deux indices différents vérifiant . Considérons le sous-module C de N engendré par les tenseurs de cette forme. Comme C est incluse dans le noyau de h, il existe une unique application multilinéaire g du module quotient N/C telle que :
On appelle donc puissance extérieure le quotient N/C et on le note . Si , la classe de l'élément se note (au lieu de comme écrit précédemment).
Rang, dimension d'un produit extérieur
Lorsque E est un module libre de type fini sur un anneau commutatif A, il possède une base finie et la famille suivante :
est une base du produit extérieur .
En particulier, on déduit le résultat suivant : deux bases finies et d'un module sur un anneau commutatif ont même longueur. En effet, soit n la longueur de l'une, et m la longueur de l'autre. Supposons n < m. Le produit extérieur est le module nul, car en utilisant la propriété précédente, on déduit que la famille vide est une base de , par ailleurs, la famille réduite à un élément est également une base. D'où la contradiction, donc , par symétrie on déduit , d'où n = m.
Notes et références
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