Fraktal

Fraktal adalah benda geometris yang kasar pada segala skala, dan terlihat dapat "dibagi-bagi" dengan cara yang radikal. Beberapa fraktal bisa dipecah menjadi beberapa bagian yang semuanya mirip dengan fraktal aslinya. Fraktal dikatakan memiliki detail yang tak hingga dan dapat memiliki struktur serupa diri pada tingkat perbesaran yang berbeda. Pada banyak kasus, sebuah fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola, biasanya dalam proses rekursif atau iteratif.

Istilah "fraktal" diciptakan oleh ahli matematika Benoît Mandelbrot pada tahun 1975.^[1] Mandelbrot mendasarkannya pada bahasa Latin frāctus, yang berarti "rusak" atau "retak", dan menggunakannya untuk memperluas konsep dimensi pecahan teoretis ke pola geometris di alam.^[2][3][4]

Berbagai jenis fraktal pada awalnya dipelajari sebagai benda-benda matematis. Geometri fraktal adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat dan perilaku fraktal. Fraktal bisa membantu menjelaskan banyak situasi yang sulit dideskripsikan menggunakan geometri klasik, dan sudah cukup banyak diaplikasikan dalam sains, teknologi, dan seni karya komputer. Dulu ide-ide konseptual fraktal muncul saat definisi-definisi tradisional geometri Euklides dan kalkulus gagal menganalisis objek-objek kurva monster tersebut.

Ada beberapa perbedaan pendapat di kalangan matematikawan tentang bagaimana konsep fraktal harus didefinisikan secara formal. Mandelbrot sendiri merangkumnya sebagai "indah, sangat sulit, semakin berguna. Itulah fraktal."^[5] Secara lebih formal, pada tahun 1982 Mandelbrot mendefinisikan fraktal sebagai berikut: "Fraktal menurut definisi adalah himpunan yang dimensi Hausdorff – Besicovitch melebihi dimensi topologi."^[6] Belakangan, karena menganggap hal ini terlalu membatasi, ia menyederhanakan dan memperluas definisinya menjadi: "Fraktal adalah bentuk geometris kasar atau terfragmentasi yang dapat dipecah menjadi beberapa bagian, yang masing-masing (setidaknya kira-kira) berukuran diperkecil salinan keseluruhannya."^[7] Belakangan, Mandelbrot mengusulkan "untuk menggunakan fraktal tanpa definisi yang berlebihan, untuk menggunakan dimensi fraktal sebagai istilah umum yang berlaku untuk semua varian".^[8]

Konsensus di kalangan ahli matematika adalah bahwa fraktal teoretis adalah konstruksi matematika yang berulang dan terperinci dengan kemiripan yang tak terhingga, yang banyak contohnya telah dirumuskan dan dipelajari.^[9][10][11] Fraktal tidak terbatas pada pola geometris, tetapi juga dapat menggambarkan proses dalam waktu.^{[12][13][14][15][16][17]} Pola fraktal dengan berbagai tingkat kemiripan diri telah dirender atau dipelajari dalam media visual, fisik, dan aural^[18] dan ditemukan di alam, ^[19][20][21] teknologi, ^[22][23][24] seni,^[25][26] dan arsitektur.^[27] Fraktal memiliki relevansi khusus dalam bidang teori chaos karena mereka muncul dalam penggambaran geometris dari sebagian besar proses chaos (biasanya sebagai penarik atau sebagai batas antara cekungan tarikan).^[28]

Dimulai pada abad ke-17 dengan gagasan rekursi, fraktal telah beralih melalui perlakuan matematis yang semakin ketat hingga mempelajari fungsi kontinu tetapi tidak terdiferensiasi pada abad ke-19 oleh karya penting Bernard Bolzano, Bernhard Riemann, dan Karl Weierstrass,^[29] dan hingga munculnya kata fraktal pada abad ke-20 yang kemudian diikuti dengan berkembangnya minat terhadap fraktal dan pemodelan berbasis komputer pada abad ke-20.^[30][31]

Benda-benda yang sekarang disebut fraktal sudah ditemukan dan dipelajari jauh sebelum kata fraktal muncul. Pada tahun 1872 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass menemukan contoh fungsi dengan sifat yang tidak intuitif yaitu kontinyu di manapun namun tidak terdiferensiasi di manapun — grafik dari fungsi tersebut akan disebut fraktal pada masa sekarang. Pada tahun 1904 Helge von Koch, tidak puas dengan definisi Weierstrass yang sangat abstrak dan analitis, memberikan definisi yang lebih geometris untuk fungsi yang mirip, yang sekarang disebut bunga salju Koch. Ide mengenai kurva-kurva serupa diri dikembangkan lebih jauh oleh Paul Pierre Lévy, yang mengenalkan kurva fraktal baru bernama kurva Lévy C dalam tulisannya pada tahun 1938 berjudul Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole.

Georg Cantor memberi contoh tentang berbagai himpunan bagian dari garis riil dengan sifat yang tidak wajar — himpunan Cantor tersebut juga sekarang dikenal sebagai fraktal. Fungsi teriterasi di bidang kompleks telah diselidiki pada akhir abad 19 dan awal abad 20 oleh Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou, dan Gaston Julia. Namun tanpa bantuan grafika komputer modern, mereka tidak dapat melihat keindahan visual benda-benda yang mereka temukan.

Dalam usahanya untuk memahami benda-benda seperti himpunan Cantor, matematikawan seperti Constantin Carathéodory dan Felix Hausdorff menggeneralisasi konsep intuitif dimensi agar memungkinkan nilai nonbulat. Ini termasuk bagian dari gerakan di pertengahan awal abad kedua puluh yang bertujuan menciptakan teori himpunan deskriptif, yaitu kelanjutan dari arah riset Cantor yang dapat mengklasifikasi himpunan titik-titik pada ruang Euclid. Definisi dimensi Hausdorff secara alami adalah geometris, walaupun didasarkan pada perkakas dari analisis matematis. Pendekatan ini digunakan oleh beberapa orang termasuk Besicovitch, yang berbeda dengan investigasi logis yang membangun sebagian besar teori himpunan deskriptif masa 1920-an dan 1930-an. Kedua bidang tersebut ditelusuri selama beberapa waktu setelahnya, terutama oleh para spesialis.

Pada tahun 1960-an Benoît Mandelbrot mulai menyelidiki keserupa dirian dalam berbagai tulisannya seperti How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Penyelidikannya merupakan pengembangan dari penelitian Lewis Fry Richardson. Dengan pendekatan yang sangat visual, Mandelbrot mendapatkan hubungan dari berbagai topik matematika yang sebelumnya tidak berkaitan. Pada tahun 1975, Mandelbrot menggunakan kata fractal untuk mendeskripsikan benda-benda serupa diri yang tidak memiliki dimensi yang jelas. Dia menurunkan kata fractal dari kata Latin fractus yang artinya "patah", "rusak", atau "tidak teratur". Kata fractal bukan diturunkan dari kata fractional (pecahan), seperti yang dipercaya banyak orang. Kata fractional sendiri juga diturunkan dari fractus.

Setelah visualisasi komputer diaplikasikan pada geometri fraktal, dapat disajikan argumen-argumen visual nan ampuh untuk menunjukkan bahwa geometri fraktal menghubungkan banyak bidang matematika dan sains, jauh lebih besar dan luas dari yang sebelumnya diperkirakan. Bidang-bidang yang terhubungkan oleh geometri fraktal terutama adalah dinamika nonlinier, teori chaos, dan kompleksitas. Salah satu contoh adalah menggambar metode Newton sebagai fraktal yang ternyata menunjukkan bahwa batas antara penyelesaian yang berbeda adalah fraktal dan penyelesaiannya sendiri adalah atraktor aneh. Geometri fraktal juga telah digunakan untuk kompresi data dan memodel sistem geologis dan organis yang kompleks, seperti pertumbuhan pohon dan perkembangan lembah sungai.

Himpunan Mandelbrot yang diperbesar 350 kali menunjukkan detail yang mirip dengan himpunan utuhnya.

Fraktal bisa dikelompokkan menjadi tiga kategori luas. Pengelompokan berikut didasarkan pada cara pendefinisian atau pembuatannya.

• Sistem fungsi teriterasi — Contohnya adalah himpunan Cantor, karpet Sierpinski, kurva Peano, bunga salju Koch, kurva naga Harter-Heighway, Kotak T, dan spons Menger.
• Fraktal waktu lolos — Contohnya adalah himpunan Mandelbrot dan fraktal Lyapunov.
• Fraktal acak — Dihasilkan melalui proses stokastik, misalnya landskap fraktal dan penerbangan Lévy.

Fraktal juga bisa dikelompokkan berdasarkan keserupa diriannya. Ada tiga tingkat keperupadirian pada fraktal:

• Serupa diri secara persis — Ini adalah keserupa dirian yang paling kuat. Fraktalnya terlihat sama persis pada berbagai skala. Fraktal yang didefinisikan oleh sistem fungsi teriterasi biasanya bersifat serupa diri secara persis.
• Serupa diri secara lemah — Ini adalah keserupa dirian yang tidak terlalu ketat. Fraktalnya terlihat mirip (tapi tidak persis sama) pada skala yang berbeda. Fraktal jenis ini memuat salinan dirinya sendiri dalam bentuk yang terdistorsi maupun rusak.
• Serupa diri secara statistik — Ini adalah kererupadirian yang paling lemah. Fraktalnya memiliki ukuran numeris atau statistik yang terjaga pada skala yang berbeda. Kebanyakan definisi fraktal yang wajar secara trivial mengharuskan suatu bentuk keserupa dirian statistik. Dimensi fraktal sendiri adalah ukuran numeris yang nilainya terjaga pada berbagai skala. Fraktal acak adalah contoh fraktal yang serupa diri secara statistik, tetapi tidak serupa diri secara persis maupun lemah.

Perlu dicatat bahwa tidak semua benda yang serupa diri adalah fraktal — misalnya garis riil (garis Euclid lurus) bersifat serupa diri, tetapi argumen bahwa benda-benda Euclid adalah fraktal merupakan minoritas. Mandelbrot berargumen bahwa definisi "fraktal" sepatutnya menyertakan tidak hanya fraktal "sebenarnya", namun juga benda-benda Euclid tradisional, karena bilangan irasional di garis bilangan memiliki sifat-sifat kompleks dan tidak berulang.

Karena fraktal memiliki detail yang tak terhingga, tidak ada benda alami yang merupakan fraktal. Namun pada skala yang terbatas benda-benda alam bisa menampakkan sifat-sifat fraktalnya.

Karakteristik fraktal, walau mudah dimengerti secara intuitif, ternyata sangat susah untuk dibuat definisi matematisnya. Mandelbrot mendefinisikan fraktal sebagai "himpunan yang dimensi Hausdorff Besicovitchnya lebih besar dari dimensi topologisnya". Untuk fraktal yang serupa diri secara persis, dimensi Hausdorffnya sama dengan dimensi Minkowsi Bouligandnya.

Masalah-masalah yang dihadapi saat mendefinisikan fraktal termasuk:

• Tidak ada definisi matematis dari "terlalu tidak teratur".
• Tidak ada definisi tunggal mengenai "dimensi".
• Suatu benda dapat bersifat serupa diri dengan berbagai cara.
• Tidak setiap fraktal didefinisikan secara rekursif.

Pohon dan pakis adalah contoh fractal di alam dan dapat dimodel pada komputer menggunakan algoritme rekursif. Sifat rekursifnya bisa dilihat dengan mudah — ambil satu cabang dari suatu pohon dan akan terlihat bahwa cabang tersebut adalah miniatur dari pohonnya secara keseluruhan (tidak sama persis, tetapi mirip).

Contoh yang relatif sederhana adalah himpunan Cantor, di mana selang terbuka yang pendek dan semakin pendek tersebar pada selang dasar [0, 1], menyisakan himpunan yang mungkin serupa diri, dan mungkin memiliki dimensi d yang memenuhi 0 < d < 1. Suatu resep sederhana, yaitu menghilangkan digit 7 dari ekspansi desimal, menghasilkan himpunan Cantor yang serupa diri pada perbesaran lipat 10.

Secara umum fraktal bentuknya tidak teratur (tidak halus), jadi bukan termasuk benda yang terdefinisikan oleh geometri tradisional. Ini berarti bahwa fraktal cenderung memiliki detail yang signifikan, terlihat dalam skala berapapun; saat ada keserupa dirian, ini bisa terjadi karena memperbesar fraktal tersebut akan menunjukkan gambar yang mirip. Himpunan-himpunan tersebut biasanya didefinisikan dengan rekursi.

Sebagai perbandingan, ambil benda Euklid biasa, misalnya lingkaran. Lengkung pada lingkaran akan terlihat semakin datar jika diperbesar. Pada perbesaran tak terhingga tidak mungkin lagi terlihat perbedaan antara lengkung lingkaran dengan garis lurus. Fraktal tidak seperti ini. Ide konvensional kurvatur, yang merupakan resiprokal dari jari-jari lingkaran aproksimasi, tidak bisa digunakan. Pada fraktal, meningkatkan perbesaran akan menunjukkan detail yang tidak terlihat sebelumnya.

Beberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan Mandelbrot, fraktal Lyapunov, himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, spons Menger, kurva naga, kurva Peano, dan kurva Koch. Fraktal bisa deterministik maupun stokastik. Sistem dinamikal chaotis sering (bahkan mungkin selalu) dihubungkan dengan fraktal.

Benda-benda yang mendekati fraktal bisa ditemukan dengan mudah di alam. Benda-benda tesebut menunjukkan struktur frakral yang kompleks pada skala tertentu. Contohnya adalah awan, gunung, jaringan sungai, dan sistem pembuluh darah.

Harrison (Inggris) [1] Diarsipkan 2012-04-20 di Wayback Machine. meluaskan kalkulus Newtonian ke domain fraktal, termasuk teorema Gauss, Green, dan Stokes.

Fraktal biasanya digambar oleh komputer dengan perangkat lunak fraktal. Lihat daftarnya di bawah.

Fraktal acak memiliki kegunaan praktis yang terbesar sebab dapat digunakan untuk mendeskripsikan banyak benda di alam. Contohnya adalah awan, gunung, turbulensi, garis pantai, dan pohon. Teknik-teknik fraktal juga telah digunakan pada kompresi gambar fraktal dan berbagai disiplin sains.

• 
  Suatu himpunan Julia, fraktal yang berhubungan dengan himpunan Mandelbrot.
• 
  Fraktal alami yang dibuat dengan cara memisahkan lembaran akrilik yang telah dilem.
• 
  Keretakan karena voltase tingga pada akrilik setebal 4 inci menghasilkan gambar Lichtenberg.
• 
  Percabangan fraktal pada DVD yang terkena radiasi gelombang mikro.
• 
  Brokoli yang merupakan fraktal alami.
• 
  Fraktal yang mirip bunga.

Fraktal banyak diaplikasikan (Inggris) [2] Diarsipkan 2005-09-20 di Wayback Machine. pada bidang:

• Klasifikasi slide histopatologi di ilmu kedokteran
• Pembuatan musik jenis baru
• Pembuatan berbagai bentuk karya seni baru
• Kompresi data dan sinyal
• Seismologi
• Kosmologi

• (Inggris) Xaos Diarsipkan 2006-07-16 di Wayback Machine. — Generator realtime — Windows, Mac, Linux, dll
• (Inggris) Fractint Diarsipkan 2008-05-06 di Wayback Machine. — Tersedia untuk sebagian besar platform
• (Inggris) FLAM3 Diarsipkan 2023-06-27 di Wayback Machine. — Untuk mendesain dan merender iterated function system (IFS), tersedia untuk semua platform
• (Inggris) Fract Diarsipkan 2012-02-04 di Wayback Machine. — Program berbasis web untuk mengeksplorasi fraktal
• (Inggris) Online Fractal Generator Diarsipkan 2023-04-13 di Wayback Machine. — Membutuhkan plugin Java2

• (Inggris) Gnofract4d Diarsipkan 2023-06-01 di Wayback Machine. — Penyunting interaktif yang bisa menggunakan banyak rumus Fractint

• (Inggris) Fractovia's listing of fractal generators Diarsipkan 2005-11-03 di Wayback Machine. — Berisi daftar yang cukup lengkap tentang program penghasil fraktal gratis
• (Inggris) Ultra Fractal Diarsipkan 2023-07-10 di Wayback Machine. — Perangkat lunak populer untuk Microsoft Windows
• (Inggris) ChaosPro Diarsipkan 2012-05-24 di Archive.is
• (Inggris) MSPlotter Diarsipkan 2021-10-06 di Wayback Machine. — Program Windows gratis yang menggunakan fraktal untuk membuat gambar bitmap dan klip video AVI
• (Inggris) Fractal Explorer Diarsipkan 2002-02-02 di Wayback Machine.
• (Inggris) Sterling Fractal Diarsipkan 2007-12-15 di Wayback Machine. — Program penghasil fraktal tingkat lanjut oleh Stephen Ferguson.
• (Inggris) IFS Illusions Diarsipkan 2010-08-01 di Wayback Machine.
• Ktaza: freeware by S. Ferguson Diarsipkan 2002-02-10 di Wayback Machine.

• (Inggris) Altivec Fractal Carbon Diarsipkan 2022-10-05 di Wayback Machine. — Program benchmark untuk Mac, menggunakan fraktal untuk mengukur kemampuan

• (Inggris) Zone Explorer Diarsipkan 2005-08-31 di Wayback Machine. — Kamu dapat membuat rumus dan pewarnaan sendiri

• teori bifurkasi
• efek kupu-kupu
• teori chaos
• kompleksitas
• teori construktal
• seni fraktal
• landskap fraktal
• metafisika fraktal
• graftal
• dimensi Hausdorff
• Gaston Julia
• Daftar publikasi matematika#Geometri fraktal
• Benoît Mandelbrot
• dinamika nonlinier
• turbulensi

• l
• b
• s

Matematika dan seni

Konsep

• Algoritma
• Katener
• Fraktal
• Rasio
• Konstanta plastis
• Struktur hiperboloid
• Permukaan minimum
• Paraboloid
• Perspektif
  • Kamera lucida
  • Kamera obskura
• Geometri proyektif
• Proporsi
  • Arsitektur
  • Manusia
• Simetri
• Tesselasi
• Grup Kristalografi

Bentuk-bentuk

• Seni algoritma
• Seni anamorfisme
• Seni komputer
• Seni 4D
• Seni fraktal
• Pola geometri Islam
  • Girih
  • Jali
  • Muqarnas
  • Zellige
• Simpul
• Arsitektur
  • Kubah geodesa
  • Islamis
  • Mughal
  • Piramida
  • Vastu shastra
• Musik
• Origami
• Tekstil
• Seni tali
• Patung
• Ubin

Karya seni

• Daftar karya yang dirancang dengan rasio emas
• Continuum
• Kubus-okta
• Pi
• Pi di langit

Bangunan

• Hagia Sophia
• Pantheon
• Parthenon
• Piramida Khufu
• Sagrada Família
• Katedral St Mary
• Gedung Opera Sydney
• Taj Mahal

Seniman

Renaisans	Paolo Uccello Piero della Francesca Albrecht Dürer Leonardo da Vinci Vitruvian Man Parmigianino Self-portrait in a Convex Mirror
Abad ke-19 - ke-20	William Blake The Ancient of Days Newton Jean Metzinger Danseuse au café L'Oiseau bleu Man Ray René Magritte La condition humaine Salvador Dalí Crucifixion The Swallow's Tail Giorgio de Chirico M. C. Escher Circle Limit III Print Gallery Relativitas Reptiles Waterfall
Kontemporer	Martinn dan Erik Demaine Scott Draves Jan Dibbets John Ernest Helaman Ferguson Peter Forakis Bathsheba Grossman George W. Hart Desmond Paul Henry John A. Hiigli Anthony Hill Charles Jencks Garden of Cosmic Speculation Robert Longhurst István Orosz Hinke Osinga Hamid Naderi Yeganeh A Bird in Flight Boat Tony Robbin Oliver Sin Hiroshi Sugimoto Daina Taimina Roman Verostko

Ilmuwan

Kuno	Polykleitos Canon Vitruvius De architectura
Renaisans	Luca Pacioli De divina proportione Piero della Francesca De prospectiva pingendi Leon Battista Alberti De pictura De re aedificatoria Sebastiano Serlio Regole generali d'architettura Andrea Palladio I quattro libri dell'architettura Albrecht Dürer Vier Bücher von Menschlicher Proportion
Romantik	Frederik Macody Lund "Ad Quadratum" Jay Hambidge "The Greek Vase" Samuel Colman "Nature's Harmonic Unity"
Modern	Owen Jones The Grammar of Ornament Ernest Hanbury Hankin The Drawing of Geometric Patterns in Saracenic art G. H. Hardy A Mathematician's Apology George David Birkhoff Aesthetic Measure Douglas Hofstadter Gödel, Escher, Bach Nikos Salingaros The 'Life' of a Carpet

Publikasi

• Journal of Mathematics and the arts

Organisasi

• Ars Mathematica
• The Bridges Organization
• European Society for Mathematics and the arts
• Goudreau Museum of Mathematics in art and Science
• Institute For Figuring
• Museum of Mathematics

Topik terkait

• Efek droste
• Keindahan matematis
• Pola di alam
• Geometri sakral

• Kategori

• (Inggris) The Chaos Hypertextbook Diarsipkan 2007-04-18 di Wayback Machine. — Buku yang mengenalkan chaos dan fraktal
• (Inggris) Fractals, in Layman's Terms Diarsipkan 2022-07-07 di Wayback Machine.
• (Inggris) Fractals, fractal dimension, chaos, plane filling curves Diarsipkan 2023-06-10 di Wayback Machine.
• (Inggris) Fractal properties Diarsipkan 2006-09-01 di Wayback Machine.
• (Inggris) Information on fractals from FAQS.org Diarsipkan 2023-06-05 di Wayback Machine.
• (Inggris) Fractovia Diarsipkan 2023-07-24 di Wayback Machine. — Daftar yang otoritatif tentang program penghasil fraktal, juga daftar tentang tutorial fraktal secara umum dan program khusus
• (Inggris) Fractal examples Diarsipkan 2005-08-31 di Wayback Machine.
• (Inggris) Fractal Artwork, Spot files for Fractal Explorer Diarsipkan 2005-12-12 di Wayback Machine.
• (Inggris) C82 Diarsipkan 2023-07-05 di Wayback Machine.
• (Inggris) Fractal landscapes Diarsipkan 2015-08-01 di Wayback Machine.
• (Inggris) Fractal dimensions Diarsipkan 2005-10-13 di Wayback Machine.
• (Inggris) Fractal calculus Diarsipkan 2012-04-20 di Wayback Machine.
• (Inggris) Mitchell-Green gravity set Diarsipkan 2005-09-01 di Wayback Machine.
• (Inggris) Fractal Dimension Diarsipkan 2005-08-01 di Wayback Machine.
• (Inggris) Several fractal art galleries with parameter files and programs for re-creating the images Diarsipkan 2005-10-15 di Wayback Machine.
• (Inggris) Fractal Zoom movies Diarsipkan 2022-06-14 di Wayback Machine.
• (Inggris) Natural fractals in Grand Canyon Diarsipkan 2006-09-12 di Wayback Machine.
• (Inggris) Galleries and softwares
• Segi Tiga Sierpinski Berwarna Warni Diarsipkan 2021-09-18 di Wayback Machine.

• (Inggris) Barnsley, Michael F., and Hawley Rising. Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-12-079061-0
• (Inggris) Falconer, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. West Sussex: John Wiley & Sons, Ltd., 2003. ISBN 0-470-84861-8
• (Inggris) Jürgens, Hartmut, Heins-Otto Peitgen, and Dietmar Saupe. Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. New York: Springer-Verlag, 1992. ISBN 038797903
• (Inggris) Mandelbrot, Benoît B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman and Co., 1982. ISBN 0-7167-1186-9
• (Inggris) Peitgen, Heinz-Otto, and Dietmar Saupe, eds. The Science of Fractal Images. New York: Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-96608-0

1. ^ Benoît Mandelbrot, Objets fractals, 1975, p. 4
2. ^ Mandelbrot, Benoît B. (1983). The fractal geometry of nature. Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5. 
3. ^ Albers, Donald J.; Alexanderson, Gerald L. (2008). "Benoît Mandelbrot: In his own words". Mathematical people : profiles and interviews. Wellesley, MA: AK Peters. hlm. 214. ISBN 978-1-56881-340-0. 
4. ^ Oxford English Dictionary (edisi ke-Online). Oxford University Press.  Templat:OEDsub
5. ^ Mandelbrot, Benoit. "24/7 Lecture on Fractals". 2006 Ig Nobel Awards. Improbable Research. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-12-11.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
6. ^ Mandelbrot, B. B.: The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Company, New York (1982); p. 15.
7. ^ Mandelbrot, Benoît B. (1983). The fractal geometry of nature. Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5. 
8. ^ Edgar, Gerald (2007). Measure, Topology, and Fractal Geometry. Springer Science & Business Media. hlm. 7. ISBN 978-0-387-74749-1. 
9. ^ Mandelbrot, Benoît B. (1983). The fractal geometry of nature. Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5. 
10. ^ Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons. xxv. ISBN 978-0-470-84862-3. 
11. ^ Briggs, John (1992). Fractals:The Patterns of Chaos. London: Thames and Hudson. hlm. 148. ISBN 978-0-500-27693-8. 
12. ^ Gouyet, Jean-François (1996). Physics and fractal structures. Paris/New York: Masson Springer. ISBN 978-0-387-94153-0. 
13. ^ Vicsek, Tamás (1992). Fractal growth phenomena. Singapore/New Jersey: World Scientific. hlm. 31; 139–146. ISBN 978-981-02-0668-0. 
14. ^ Peters, Edgar (1996). Chaos and order in the capital markets : a new view of cycles, prices, and market volatility. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-13938-6. 
15. ^ Krapivsky, P. L.; Ben-Naim, E. (1994). "Multiscaling in Stochastic Fractals". Physics Letters A. 196 (3–4): 168. Bibcode:1994PhLA..196..168K. doi:10.1016/0375-9601(94)91220-3. 
16. ^ Hassan, M. K.; Rodgers, G. J. (1995). "Models of fragmentation and stochastic fractals". Physics Letters A. 208 (1–2): 95. Bibcode:1995PhLA..208...95H. doi:10.1016/0375-9601(95)00727-k. 
17. ^ Hassan, M. K.; Pavel, N. I.; Pandit, R. K.; Kurths, J. (2014). "Dyadic Cantor set and its kinetic and stochastic counterpart". Chaos, Solitons & Fractals. 60: 31–39. arXiv:1401.0249 . Bibcode:2014CSF....60...31H. doi:10.1016/j.chaos.2013.12.010. 
18. ^ Brothers, Harlan J. (2007). "Structural Scaling in Bach's Cello Suite No. 3". Fractals. 15 (1): 89–95. doi:10.1142/S0218348X0700337X. 
19. ^ Liu, Jing Z.; Zhang, Lu D.; Yue, Guang H. (2003). "Fractal Dimension in Human Cerebellum Measured by Magnetic Resonance Imaging". Biophysical Journal. 85 (6): 4041–4046. Bibcode:2003BpJ....85.4041L. doi:10.1016/S0006-3495(03)74817-6. PMC 1303704 . PMID 14645092. 
20. ^ Karperien, Audrey L.; Jelinek, Herbert F.; Buchan, Alastair M. (2008). "Box-Counting Analysis of Microglia Form in Schizophrenia, Alzheimer's Disease and Affective Disorder". Fractals. 16 (2): 103. doi:10.1142/S0218348X08003880. 
21. ^ Jelinek, Herbert F.; Karperien, Audrey; Cornforth, David; Cesar, Roberto; Leandro, Jorge de Jesus Gomes (2002). "MicroMod-an L-systems approach to neural modelling". Dalam Sarker, Ruhul. Workshop proceedings: the Sixth Australia-Japan Joint Workshop on Intelligent and Evolutionary Systems, University House, ANU. University of New South Wales. ISBN 978-0-7317-0505-4. OCLC 224846454. Diakses tanggal February 3, 2012. Event location: Canberra, Australia 
22. ^ Hu, Shougeng; Cheng, Qiuming; Wang, Le; Xie, Shuyun (2012). "Multifractal characterization of urban residential land price in space and time". Applied Geography. 34: 161–170. Bibcode:2012AppGe..34..161H. doi:10.1016/j.apgeog.2011.10.016. 
23. ^ Karperien, Audrey; Jelinek, Herbert F.; Leandro, Jorge de Jesus Gomes; Soares, João V. B.; Cesar Jr, Roberto M.; Luckie, Alan (2008). "Automated detection of proliferative retinopathy in clinical practice". Clinical Ophthalmology. 2 (1): 109–122. doi:10.2147/OPTH.S1579. PMC 2698675 . PMID 19668394. 
24. ^ Losa, Gabriele A.; Nonnenmacher, Theo F. (2005). Fractals in biology and medicine. Springer. ISBN 978-3-7643-7172-2. 
25. ^ Wallace, David Foster (August 4, 2006). "Bookworm on KCRW". Kcrw.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal November 11, 2010. Diakses tanggal October 17, 2010.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
26. ^ Eglash, Ron (1999). "African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design". New Brunswick: Rutgers University Press. Diarsipkan dari versi asli tanggal January 3, 2018. Diakses tanggal October 17, 2010.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
27. ^ Ostwald, Michael J., and Vaughan, Josephine (2016) The Fractal Dimension of Architecture Birhauser, Basel. DOI:10.1007/978-3-319-32426-5.
28. ^ Baranger, Michael. "Chaos, Complexity, and Entropy: A physics talk for non-physicists" (PDF). 
29. ^ Segal, S. L. (June 1978). "Riemann's example of a continuous 'nondifferentiable' function continued". The Mathematical Intelligencer. 1 (2): 81–82. doi:10.1007/BF03023065. 
30. ^ Edgar, Gerald (2004). Classics on Fractals. Boulder, CO: Westview Press. ISBN 978-0-8133-4153-8. 
31. ^ Trochet, Holly (2009). "A History of Fractal Geometry". MacTutor History of Mathematics. Diarsipkan dari versi asli tanggal March 12, 2012.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)