Funzione antiolomorfa

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In matematica, le funzioni antiolomorfe (chiamate anche funzioni antianalitiche) sono una famiglia di funzioni strettamente collegate alle funzioni olomorfe ma distinte da quest'ultime.

Una funzione ${\displaystyle f}$ definita in un insieme aperto ${\displaystyle A}$ nel piano complesso è detta antiolomorfa se è derivabile in senso reale (vale a dire, se ${\displaystyle \Re (f)}$ e ${\displaystyle \Im (f)}$ sono funzioni reali derivabili) e la sua derivata rispetto a ${\displaystyle z}$ è identicamente nulla in ${\displaystyle A}$. Questa definizione si contrappone ad una delle definizioni equivalenti di funzione olomorfa, dove viene richiesto che ${\displaystyle f}$ sia derivabile in senso reale e la sua derivata rispetto a ${\displaystyle {\bar {z}}}$ sia nulla.

Dalla relazione ${\displaystyle {\frac {\overline {\partial f}}{\partial z}}={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial {\bar {z}}}}}$ segue che ${\displaystyle f}$ è antiolomorfa se e solo se ${\displaystyle {\bar {f}}}$ è olomorfa.

Osserviamo che se ${\displaystyle g(z)}$ è una funzione olomorfa in un insieme aperto ${\displaystyle D}$, allora ${\displaystyle f(z):=g({\bar {z}})}$ è una funzione antiolomorfa in ${\displaystyle {\bar {D}}}$, dove ${\displaystyle {\bar {D}}}$ è la riflessione rispetto all'asse x dell'insieme ${\displaystyle D}$; in altre parole, ${\displaystyle {\bar {D}}}$ è l'insieme dei complessi coniugati degli elementi di ${\displaystyle D}$. Quindi ogni funzione antiolomorfa può essere ottenuta in questo modo partendo da una funzione olomorfa. Ciò implica che una funzione è antiolomorfa se e solo se può essere espansa in serie di potenze nella variabile ${\displaystyle {\bar {z}}}$ in un intorno di ogni punto del suo dominio.

Se una funzione è sia olomorfa che antiolomorfa allora è costante in ogni componente connessa del suo dominio. Per definizione, una funzione che dipenda sia da ${\displaystyle z}$ che da ${\displaystyle {\bar {z}}}$ non può essere olomorfa né antiolomorfa.

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione antiolomorfa, su MathWorld, Wolfram Research.

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