グラム・シュミットの正規直交化法 (グラム・シュミットのせいきちょっこうかほう、英 : Gram–Schmidt orthonormalization )とは、計量ベクトル空間 に属する線型独立 な有限個のベクトル が与えられたとき、それらと同じ部分空間 を張る 正規直交系 を作り出すアルゴリズム の一種。シュミットの直交化 (ちょっこうか、orthogonalization )ともいう。ヨルゲン・ペダーセン・グラム およびエルハルト・シュミット に因んで名付けられた。変換行列は上三角行列 に取ることができる。正規化 する工程を省略すると、必ずしも正規でない直交系を得ることができる。
アルゴリズム V を計量ベクトル空間 とし、V のベクトル v , u の内積 を (v , u ) と表すことにする。与えられたベクトルの線型独立 系を {v 1 , v 2 , …, v n } とする。
直交化 u 1 := v 1 u 2 := v 2 − ( u 1 , v 2 ) ( u 1 , u 1 ) u 1 u 3 := v 3 − ( u 1 , v 3 ) ( u 1 , u 1 ) u 1 − ( u 2 , v 3 ) ( u 2 , u 2 ) u 2 ⋮ u n := v n − ( u 1 , v n ) ( u 1 , u 1 ) u 1 − ( u 2 , v n ) ( u 2 , u 2 ) u 2 − ⋯ − ( u n − 1 , v n ) ( u n − 1 , u n − 1 ) u n − 1 := v n − ∑ i = 1 n − 1 ( u i , v n ) ( u i , u i ) u i {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {u}}_{1}&:={\boldsymbol {v}}_{1}\\{\boldsymbol {u}}_{2}&:={\boldsymbol {v}}_{2}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{2})}{({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{1})}}{\boldsymbol {u}}_{1}\\{\boldsymbol {u}}_{3}&:={\boldsymbol {v}}_{3}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{3})}{({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{1})}}{\boldsymbol {u}}_{1}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {v}}_{3})}{({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {u}}_{2})}}{\boldsymbol {u}}_{2}\\&\vdots \\{\boldsymbol {u}}_{n}&:={\boldsymbol {v}}_{n}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{1})}}{\boldsymbol {u}}_{1}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {u}}_{2})}}{\boldsymbol {u}}_{2}-\dotsb -{\frac {({\boldsymbol {u}}_{n-1},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{n-1},{\boldsymbol {u}}_{n-1})}}{\boldsymbol {u}}_{n-1}\\&:={\boldsymbol {v}}_{n}-\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n-1}{\dfrac {({\boldsymbol {u}}_{i},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{i},{\boldsymbol {u}}_{i})}}{\boldsymbol {u}}_{i}\end{aligned}}} によって順に新しいベクトルを作っていくと、{u 1 , u 2 , …, u n } は新しい線型独立系になる。構成から、互いに直交していることは容易に分かる。
正規化 e i := u i ( u i , u i ) 1 / 2 {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}:={\frac {{\boldsymbol {u}}_{i}}{({\boldsymbol {u}}_{i},{\boldsymbol {u}}_{i})^{1/2}}}} とおけば {e 1 , e 2 , …, e n } が求める性質を満たす正規直交系であることが分かる。
脚注 [脚注の使い方 ]
参考文献 Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix analysis (Second ed.). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-54823-6. MR 2978290. https://books.google.co.jp/books?id=5I5AYeeh0JUC&pg=PA15 関連項目 外部リンク