n 番目のタクシー数(タクシーすう、taxicab number、Ta(n)もしくはTaxicab(n)と表記される)とは、2つの立方数の和として n 通りに表される最小の正の整数と定義される。1954年にゴッドフレイ・ハロルド・ハーディとエドワード・メートランド・ライト(英語版)が全ての正の整数 n に対し、Ta(n)が存在することを示した。その証明を利用すれば「2つの立方数の和として n 通りに表される正の整数」を見つけることはできる。ただしそれが最小の数であるかは保証されていないため、Ta(n)であるとは限らない。
「タクシー数」と言う名前はハーディが乗ったタクシーの番号1729についてそれがTa(2)であることをシュリニヴァーサ・ラマヌジャンが指摘したエピソードから来ている(後述)。そのため、この数の問題とタクシーとの関連は全く無い。
なお、ここでの立方数は正の整数のみを考える。0と負の整数も含めるときは、名前の「taxicab」をひっくり返してキャブタクシー数と呼ばれる。
概要
与えられた正の整数 N に対し、不定方程式
![{\displaystyle x^{3}+y^{3}=N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c30ff0d3bf30ce6972d48bebf5a4dbc1e04857)
の整数解 y ≥ x > 0 の個数は明らかに有限個である(0 < y3 < N であるため)。これを s(N) とおく。Ta(n) は s(N) ≥ n となる最小の N である。
任意の n に対して s(N) ≥ n となる整数 N が存在することが知られており、したがって Ta(n) は存在する。実際 m を正の整数とすると
![{\displaystyle x^{3}+y^{3}=m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976ce831c04ff067776f3674ce0c678f671b297f)
は楕円曲線なので、階数が正ならば無限個の有理点を持つ。さらに、このとき有理点の全体は実数点の中で稠密となる。よって、その中には無限個の正の有理点が存在する。それらから任意の個数の有理点
を選んで分母を払うことにより
![{\displaystyle (x_{i}D_{i})^{3}+(y_{i}D_{i})^{3}=md_{1}^{3}d_{2}^{3}\cdots d_{k}^{3},D_{i}=(d_{1}d_{2}\cdots d_{k})/d_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2a02e4b33270d31c770c99d7b00708bf496ecbc)
が成り立つ。
ととれば
が成り立つ。m = 7, 9 などに対して上記の曲線の階数は正なので、ここから s(N) がいくらでも大きなものを得ることができる。よって任意の正の整数に対して Ta(n) は確かに存在する。
一般に F が3次形式で
![{\displaystyle F(x,y)=m_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e411fb4fcf041e0a7cfa4f77a0ec1a07451bc15)
が階数 r の楕円曲線を与えているとき、
![{\displaystyle F(x,y)=m,m=m_{0}d^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7546c77a22bb6e40dd98381fd7a3ca57e97e1cf3)
の解の個数が > c(log m)r/(r+2) となる m が無数に存在する(c> 0 は F と m0 のみに依存し d には依存しない)。
![{\displaystyle x^{3}+y^{3}=657}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8773fab304e505c91abaad12050d8f902ad6117)
は階数3を持つことが知られている(実際 (17/2, -7/2), (163/19, 56/19), (3439/223, -3220/223) が生成元となる)。よって
![{\displaystyle s(N)>c\log ^{3/5}N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6393a71acbe88af4566c48627916713413ed0c7)
となる N が無数に存在する[1]。したがって
![{\displaystyle {\text{Ta}}(n)<\exp(cn^{5/3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f4f84ab60c2910325d785e1fcbc0125d47d2a5)
が無数の n に対して成り立つ。
既知のタクシー数
現在までに以下の6つのタクシー数が知られている(オンライン整数列大辞典の数列 A011541参照)。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=2&=1^{3}+1^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e18ca5838f0907bb38f4b6b645a551374b0ce8dd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (2)=1729&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e29290853597a216e01155babd352cf6a71c17)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (3)=87539319&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59be47e2f2d5093308737aa74738c47a3847fbe7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (4)=6963472309248&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&=10200^{3}+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d2e3b9417a5a71afcf8e6e93deecb8b1e1962d8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (5)=48988659276962496&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968669cf363b54d99db39281136b2edc8b50cff7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (6)=24153319581254312065344&=582162^{3}+28906206^{3}\\&=3064173^{3}+28894803^{3}\\&=8519281^{3}+28657487^{3}\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\\&=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9c140a67ae91409578bc4b1827697ebbe90b71)
タクシー数の上限
以下の数字は7通り~12通りの2つの立方数の和で表せる数である。これらがタクシー数そのものである可能性はあるが、証明はされていない。つまり、Ta(7)からTa(12)の上限となる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (7)\leq 24885189317885898975235988544&=2648660966^{3}+1847282122^{3}\\&=2685635652^{3}+1766742096^{3}\\&=2736414008^{3}+1638024868^{3}\\&=2894406187^{3}+860447381^{3}\\&=2915734948^{3}+459531128^{3}\\&=2918375103^{3}+309481473^{3}\\&=2919526806^{3}+58798362^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97abec698f635e846c6b3a6a236598eea6b95a36)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (8)\leq 50974398750539071400590819921724352&=299512063576^{3}+288873662876^{3}\\&=336379942682^{3}+234604829494^{3}\\&=341075727804^{3}+224376246192^{3}\\&=347524579016^{3}+208029158236^{3}\\&=367589585749^{3}+109276817387^{3}\\&=370298338396^{3}+58360453256^{3}\\&=370633638081^{3}+39304147071^{3}\\&=370779904362^{3}+7467391974^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e96f93849917746bc7f6e5adad1a3f9b7c93d08)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (9)\leq 136897813798023990395783317207361432493888&=41632176837064^{3}+40153439139764^{3}\\&=46756812032798^{3}+32610071299666^{3}\\&=47409526164756^{3}+31188298220688^{3}\\&=48305916483224^{3}+28916052994804^{3}\\&=51094952419111^{3}+15189477616793^{3}\\&=51471469037044^{3}+8112103002584^{3}\\&=51518075693259^{3}+5463276442869^{3}\\&=51530042142656^{3}+4076877805588^{3}\\&=51538406706318^{3}+1037967484386^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1317534748214cf23c0c0188bb18ca9afe7d2162)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (10)&\leq 7335345315241855602572782233444632535674275447104\\&=15695330667573128^{3}+15137846555691028^{3}\\&=17627318136364846^{3}+12293996879974082^{3}\\&=17873391364113012^{3}+11757988429199376^{3}\\&=18211330514175448^{3}+10901351979041108^{3}\\&=19262797062004847^{3}+5726433061530961^{3}\\&=19404743826965588^{3}+3058262831974168^{3}\\&=19422314536358643^{3}+2059655218961613^{3}\\&=19426825887781312^{3}+1536982932706676^{3}\\&=19429379778270560^{3}+904069333568884^{3}\\&=19429979328281886^{3}+391313741613522^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/235a7ab1821109b18f4c7a5d9c874d446407aefd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (11)&\leq 87039729655193781808322993393446581825405320183232000\\&=381087194739069520^{3}+316469686016945240^{3}\\&=385744811881975000^{3}+309479752750029680^{3}\\&=390662458762053660^{3}+301539992238035460^{3}\\&=392138457234189120^{3}+299032406381730840^{3}\\&=426267111265435440^{3}+212424209933109720^{3}\\&=426887616463852180^{3}+209891877907138700^{3}\\&=428126038425768228^{3}+204623083640747772^{3}\\&=438609133406051160^{3}+138573856797762960^{3}\\&=439653507772479000^{3}+127174000598779680^{3}\\&=443138459854855128^{3}+27089483598685872^{3}\\&=443171971973855943^{3}+5134510178400057^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49aa1d0d0e3dd19b4132155b67fa6b7f848df876)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (12)&\leq 16119148654034302034428760115512552827992287460693283776000\\&=21721970100126962640^{3}+18038772102965878680^{3}\\&=21987454277272575000^{3}+17640345906751691760^{3}\\&=22267760149437058620^{3}+17187779557568021220^{3}\\&=22351892062348779840^{3}+17044847163758657880^{3}\\&=24297225342129820080^{3}+12108179966187254040^{3}\\&=24332594138439574260^{3}+11963837040706905900^{3}\\&=24403184190268788996^{3}+11663515767522623004^{3}\\&=25000720604144916120^{3}+7898709837472488720^{3}\\&=25060249943031303000^{3}+7248918034130441760^{3}\\&=25258892211726742296^{3}+1544100565125094704^{3}\\&=25260575914339118080^{3}+771180546485662040^{3}\\&=25260802402509788751^{3}+292667080168803249^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84012661ec3dfc25e21de501fc94793266d99af0)
発見の歴史
ハーディ・ラマヌジャン数として知られるTa(2)は1657年にバーナード・フラン・ベッシー(英語版)によって他のいくつかの2つの立方数の和で2通りに表せる数とともに見出された[2]。レオンハルト・オイラーは
![{\displaystyle X^{3}+Y^{3}=Z^{3}+W^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f910fe01d7bf20ddcb60653a771aafc776803288)
の有理数解の一般解を与えており、その後アドルフ・フルヴィッツはそれを単純化した[3]:
![{\displaystyle X=t(1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2})),Y=t((a+3b)(a^{2}+3b^{2})-1),Z=t((a+3b)-(a^{2}+3b^{2})^{2}),W=t((a^{2}+3b^{2})^{2}-(a-3b)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fda77f1a895622b305589a99cd2a9c4ce50f24d)
ただしこの公式から、すべての整数解を与える公式が導かれるわけではない。t, a, b が整数ならばこの公式は整数解を与えるが、それがすべての整数解を与えるわけではないからである。たとえば Ta(2) は (a, b, t) = (10/19, −7/19, −361/42) に対応しており t, a, b が整数であるものからは与えられない(もちろん t, a, b をうまく与えることでどの整数解も得られるが、整数解に対応する t, a, b がどのようなものかは明らかではない)。またオイラーは
![{\displaystyle (9t^{4})^{3}+(9t^{3}+1)^{3}=(9t^{4}+3t)^{3}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01242146f1f1e6385e16c54c4f6bc8c8671ca767)
を発見している(t = 1 とおくとタクシー数を得る)。
Ta(2) は後にハーディとラマヌジャンのエピソードによって不滅のものとなった。ハーディによれば[4]
「 | 私は彼をパットニーの療養所に見舞ったことを覚えている。私はナンバーが1729のタクシーに乗り、その数は無味乾燥なもののように思え、それが不吉なことの前兆でないことを願っていた。しかし彼は「そんなことはありません、とても興味深い数字です。それは2通りの2つの立方数の和で表せる最小の数です」と返した。 | 」 |
ラマヌジャンは1913年に無限個の整数解を与える公式
![{\displaystyle (6A^{2}-4AB+4B^{2})^{3}+(-3A^{2}-5AB+5B^{2})^{3}=(4A^{2}-4AB+6B^{2})^{3}+(5A^{2}-5AB-3B^{2})^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e32e6ef8662c9429b178f2f5f300f070890a8f13)
を発見し、その後オイラーの一般有理解と等価な一般有理解の公式を得ている。またラマヌジャンの遺稿には
![{\displaystyle X^{3}+Y^{3}=Z^{3}\pm 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fb751c977c3d97fe8cd96dcb899ea824e0467a)
の無限個の整数解を得る(オイラーとは別の)方法が述べられている[5]。
ラマヌジャンやハーディー・ライトがタクシー数の解法を示して以降は、コンピュータによる発見が常となった。ジョン・リーチは1957年にTa(3)を発見した。1991年にはE・ローゼンスティール、J・A・ダーディス、C・R・ローゼンスティールがTa(4)を発見。J・A・ダーディスは1994年にTa(5)を発見し、1999年にデービッド・W・ウィルソンによって確認された[6][7]。Ta(6)はウーヴェ・ホラーバッハによって2008年3月9日にメーリングリストNMBRTHRYに発見が報告されたが[8]、これは2003年に Claude et al. によって99%の確率でTa(6)であろうとされていたものだった[9]。2006年にはクリスチャン・ボワイエによってTa(7)からTa(12)までの上限が与えられた[10]。2008年にはクリスチャン・ボワイエとJaroslaw WroblewskiによってTa(11)からTa(22)までの上限が更新された[11]。
より制限をかけた形でのタクシー問題は、タクシー数がcubefreeである、つまり13以外の立方数で割り切れない場合である。 cubefreeなタクシー数 T が T = x3+y3と書かれるとき、全ての組 (x, y) に対して x, y は互いに素である。先述したタクシー数の中では、Ta(1)とTa(2)だけがcubefreeなタクシー数である。3通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、1981年に大学院生だったポール・ボイタによって発見された(未発表)。これは以下の通りである。
- 15170835645
- = 5173 + 24683
- = 7093 + 24563
- = 17333 + 21523.
4通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、2003年にダンカン・ムーアとスチュアート・ギャスコインによって独立に発見された。以下の通り。
- 1801049058342701083
- = 922273 + 12165003
- = 1366353 + 12161023
- = 3419953 + 12076023
- = 6002593 + 11658843.
(オンライン整数列大辞典の数列 A080642参照)
上記の通り制限のない場合には s(N) はいくらでも大きくできるが、N が立方因子をもたないとき、
![{\displaystyle x^{3}+y^{3}=N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c30ff0d3bf30ce6972d48bebf5a4dbc1e04857)
の解の個数をどこまで大きくできるかは未だわかっていない。この方程式のあらわす楕円曲線の階数を r(N) とすると
![{\displaystyle s(N)<c^{r(N)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/729e03b1297fe965f5f20af381312de69b067ec7)
となる絶対定数 c が存在する。 N が大きいときは
![{\displaystyle s(N)<9(15^{r(N)}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da4b1d0b044122e3882a3df1f177f8dcf9fc782)
が成り立つ[12]。
脚注
- ^ Silverman (1983)
- ^ Dickson (1919, p. 552)
- ^ Hardy & Wright (2008, Theorem 235)
- ^ Quotations by Hardy - ウェイバックマシン(2017年8月29日アーカイブ分)
- ^ Ken Ono and Sarah Trebat-Leder (2016, 2017)
- ^ Numbers Count column of Personal Computer World, page 610, Feb 1995
- ^ "The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496" by David W. Wilson
- ^ NMBRTHRY Archives - March 2008 (#10) "The sixth taxicab number is 24153319581254312065344" by Uwe Hollerbach
- ^ C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196-1203
- ^ Tables of best known results (in May 2007) on Taxicab and Cabtaxi numbers
- ^ New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi numbers
- ^ Silverman (1982)
参考文献
- Hardy, G.H.; Wright, E.M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. Zbl 1159.11001
- Dickson, Lernard Eugene (1919). History of the theory of numbers, vol. II, Diophantine Analysis. Carnegie Institute of Washington. https://archive.org/details/historyoftheoryo02dickuoft
- J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations, Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 778-780, 1957.
- Ono, Ken; Trebat-Leder, Sarah (2016). “The 1729 K3 surface”. Res. Number Theory 2: No. 26. doi:10.1007/s40993-016-0058-2.
- Ono, Ken; Trebat-Leder, Sarah (2017). “Erratum to: The 1729 K3 surface”. Res. Number Theory 3: No. 12. doi:10.1007/s40993-017-0076-8.
- E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x3 + y3 = z3 + w3 = u3 + v3 = m3 + n3, Bull. Inst. Math. Appl., 27(1991) 155-157; MR 92i:11134, online. 「Personal Computer World」1989年11月号も参照せよ。
- David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496, Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), online. (ウィルソンはこれを著した際、1994年にJ・A・ダーディスがTa(5)を発見していたことを認識していなかった)
- D. J. Bernstein, Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d), Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389–394.
- C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196–1203
- Silverman, Joseph H. (1983). “Integer points on curves of genus 1”. J. London Math. Soc. (2) 28: 1-7. doi:10.1112/jlms/s2-28.1.1. MR0703458.
- Silverman, Joseph H. (1982). “Integer points and the rank of Thue elliptic curves”. Invent. Math. 66: 395-404. doi:10.1007/BF01389220. MR0662599.
関連項目
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "Taxicab Number". mathworld.wolfram.com (英語).
- A 2002 post to the Number Theory mailing list by Randall L. Rathbun
- Taxicab and other maths at Euler