複素数 z の絶対値 |z | は、複素数平面 上において、原点 O(0) と P(z ) の距離 OP に等しい。 数学 における複素数 の絶対値 (ぜったいち、英 : absolute value , 仏 : module ; 母数 )とは、複素数平面 における、原点 O(0) とのユークリッド距離 として定義できる。これは、実数 の絶対値 を複素数に拡張した、唯一の乗法的ノルム として特徴付けることができる。複素数 z の絶対値は |z | などで表される。
具体的には、複素数 z = a + bi (a , b は実数)(i は虚数単位 )の絶対値 は次の式で定義される:
| z | := a 2 + b 2 {\displaystyle |z|:={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} 複素数の絶対値の概念は実数の絶対値の拡張であり、乗法的ノルムの公理を満たす。これにより複素数列 の収束 ・発散 の概念がε -δ 論法により導入でき、複素解析 を講ずることができる。
用語として module を導入したのは Argand(英語版) , Jean-Robert (1814), “Réflexion sur la nouvelle théorie des imaginaires, suivie de la démonstration d'un théorème d'analyse”, Annales de Gergonne 5 : 197-209 で、幾何学的構成による虚数の表現を説明するものとして用いられた[ 1] 。
定義 複素数 z = a + bi (a , b は実数)の絶対値 |z | は、幾何学的な定義と代数的な定義がある。幾何学的には、絶対値 |z | は、複素数平面 における、原点 O(0) とのユークリッド距離 として定義できる。ピタゴラスの定理 より、具体的には、次の式で定義できる:
| z | := a 2 + b 2 {\displaystyle |z|:={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} 代数的には、複素数の絶対値は、実数の絶対値を拡張した乗法的ノルム として定義できる。つまり、複素関数 | | : C → R {\displaystyle |\quad |:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} } で以下の性質を満たすものを、複素変数の絶対値関数という:
| x | = max { x , − x } {\displaystyle |x|=\max\{x,-x\}} (x は実数) 非負性: | z | ≥ 0 {\displaystyle |z|\geq 0} 非退化性: | z | = 0 ⟺ z = 0 {\displaystyle |z|=0\iff z=0} 乗法性: | z 1 z 2 | = | z 1 | | z 2 | {\displaystyle |z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|} 三角不等式 : | z 1 + z 2 | ≤ | z 1 | + | z 2 | {\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|} 複素数の乗法的ノルムは幾何学的定義の絶対値に等しいことの証明は、以下の流れになる:
z の極形式表示を r (cos θ + i sin θ ) とする。 |cos θ + i sin θ | = 1 を証明すればよい。 ド・モアブルの定理 より、θ が有理数 の場合については、 |cos θ + i sin θ | = 1 が示される。 ノルム関数 |•| は、三角不等式より連続 である。 θ を有理数列で近似していくと、余弦関数、正弦関数、ノルム関数の連続性より、|cos θ + i sin θ | = 1 (証明終)
性質 z ; z 1 , …, zn を複素数とする。
非負性: | z | ≥ 0 {\displaystyle |z|\geq 0} 非退化性: | z | = 0 ⟺ z = 0 {\displaystyle |z|=0\iff z=0} 乗法性: | z 1 z 2 | = | z 1 | | z 2 | {\displaystyle |z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|} | z 1 z 2 | = | z 1 | | z 2 | ( z 2 ≠ 0 ) {\displaystyle \left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|={\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}\quad (z_{2}\neq 0)} | z n | = | z | n {\displaystyle |z^{n}|=|z|^{n}} (n は整数、ド・モアブルの定理より) | z r | = | z | r {\displaystyle |z^{r}|=|z|^{r}} (r は実数、オイラーの公式 より) 三角不等式 : | z 1 + z 2 | ≤ | z 1 | + | z 2 | {\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|} 等号成立は z 1 ¯ z 2 ∈ R + {\displaystyle {\overline {z_{1}}}z_{2}\in \mathbb {R} _{+}} のとき。つまり、0 以上のある実数 λ が存在して z 2 = λ z 1 {\displaystyle z_{2}=\lambda z_{1}} または z 1 = λ z 2 {\displaystyle z_{1}=\lambda z_{2}} と書けるときである。 | z 1 + z 2 + ⋯ + z n | ≤ | z 1 | + | z 2 | + ⋯ + | z n | {\displaystyle |z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|+\cdots +|z_{n}|} 逆向き三角不等式: | z 1 ± z 2 | ≥ | | z 1 | − | z 2 | | {\displaystyle |z_{1}\pm z_{2}|\geq {\bigl |}|z_{1}|-|z_{2}|{\bigr |}} | Re z | ≤ | z | {\displaystyle |\operatorname {Re} z|\leq |z|} , | Im z | ≤ | z | {\displaystyle |\operatorname {Im} z|\leq |z|} lim n → ∞ z n = α ⟺ lim n → ∞ Re z n = Re α , lim n → ∞ Im z n = α {\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=\alpha \iff \lim _{n\to \infty }\operatorname {Re} z_{n}=\operatorname {Re} \alpha ,\ \lim _{n\to \infty }\operatorname {Im} z_{n}=\alpha } 複素関数 | z | {\displaystyle |z|} は連続 上記の3性質は、絶対値を特徴付けるため、重要である。
| z | = | − z | = | z ¯ | = | − z ¯ | {\displaystyle |z|=|-z|=|{\overline {z}}|=|-{\overline {z}}|} ただし、上線 • は複素共役 を表す。 | z | 2 = z z ¯ {\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}} 実数 x について成り立つ等式 |x | = max{x , −x } は、複素数では成り立たない[ 注 1] 。
複素絶対値関数 f (z ) = |z | は正則 でない。
演算の特徴 複素数全体からなる集合 C において、
d ( z 1 , z 2 ) = | z 1 − z 2 | ( z 1 , z 2 ∈ C ) {\displaystyle d(z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|\quad (z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} )} で定義される関数 d は距離函数 である。つまり (C , d ) は距離空間 (特に位相空間 )になる。さらに (C , d ) は完備 である。
C は、上で述べた非負性・非退化性・乗法性(の一部)と三角不等式の成立により、複素数の絶対値をノルム とする実二次元ノルム線型空間 である。さらに複素数の持つ代数的演算は、この標準的な距離空間の位相(ノルム位相(ドイツ語版) )に関して連続 である。特に、絶対値の乗法性により、C は乗法的バナッハ環 (したがって完備ノルム体 )を成す。
より代数的な言葉で述べるならば、複素数の絶対値は複素数全体の成す集合に付値体 の構造を与えるという意味において「絶対値」(付値 )である。複素数の全体は完備アルキメデス 付値体になる。
絶対値 1 の複素数 写像 z ↦ |z | は複素数の乗法群 (C *, ×) を実数の乗法群 (R *, ×) へ写す群準同型 である。この準同型の核は絶対値 1 の複素数全体の成す集合 U である。したがって U は (C *, ×) の部分群 (特に正規部分群 )であり、C の円周群 と呼ばれる。
写像 x ↦ exp(ix ) は実数の加法群 (R , +) を円周群 (U , ×) へ写す群準同型 である。この準同型は基本周期 2π を持つ周期函数 になる。ブルバキ の数学原論 ではこれを π の定義におく。
一般化
合成代数のノルム・絶対値 任意の合成代数 A は共軛と呼ばれる対合 x ↦ x * を備えている。各元 x とその共軛元 x* との積 N (x ) ≔ xx* は x のノルムと呼ばれる。
実数 体 ℝ , 複素数 体 ℂ , 四元数 体 ℍ は何れも正定値二次形式 によって与えられるノルムを持つ合成代数であり、これら多元体 における絶対値は上記合成代数としてのノルムの平方根 : { | x | R := x ⋅ x = x 2 ( ∀ x ∈ R ) | z | C := z ⋅ z ¯ = ( a + b i ) ( a − b i ) = a 2 + b 2 ( ∀ z := a + b i ∈ C ; a , b ∈ R ) | h | H := h ⋅ h ∗ = ( r + q ) ( r − q ) = r 2 + ‖ q ‖ 2 ( ∀ h := r + q ∈ H ; r ∈ R , q ∈ R 3 ) {\displaystyle {\begin{cases}|x|_{\mathbb {R} }:={\sqrt {x\cdot x}}={\sqrt {x^{2}}}&(\forall x\in \mathbb {R} )\\[5pt]|z|_{\mathbb {C} }:={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}={\sqrt {(a+bi)(a-bi)}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}&(\forall z:=a+bi\in \mathbb {C} ;\,a,b\in \mathbb {R} )\\[5pt]|h|_{\mathbb {H} }:={\sqrt {h\cdot h^{*}}}={\sqrt {(r+\mathbf {q} )(r-\mathbf {q} )}}={\sqrt {r^{2}+\Vert \mathbf {q} \Vert ^{2}}}&(\forall h:=r+\mathbf {q} \in \mathbb {H} ;\,r\in \mathbb {R} ,\,\mathbf {q} \in \mathbb {R} ^{3})\end{cases}}} で与えられる。
一般には合成代数のノルムは二次形式 として不定値となり得るし、等方ベクトル も持ち得る。それでも上記の多元体の場合と同様に非零ノルムを持つ元 x は必ず乗法逆元 として x* /N (x ) を持つ。
注 [脚注の使い方 ]
注釈 ^ 複素数全体は、実数の場合と異なり、順序体 でない(演算と両立する大小関係を持たない)。したがって、実数の場合に成り立つ |x | = max{x , −x } は、複素数では、最大・最小の概念が意味を為さず、成り立たない。
出典
参考文献 Argand, Jean-Robert (1874), Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires par des constructions géométriques , Paris: Gauthier-Villars ニコラ・ブルバキ 著、小島順、村田全 、加地紀臣男 訳『実一変数関数(基礎理論)〈1〉』東京図書 〈ブルバキ数学原論〉、1986年10月15日。
関連項目
外部リンク Weisstein, Eric W. "Complex Modulus". mathworld.wolfram.com (英語). absolute value - PlanetMath .(英語) Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Absolute value”, Encyclopedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Absolute_value absolute value, On the real and complex numbers in nLab Definition:Complex Modulus at ProofWiki