古典力学 F = d d t ( m v ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})} 運動の第2法則 歴史(英語版)
連続体力学
連続体力学 (れんぞくたいりきがく、英語 : Continuum mechanics )とは、物理的対象を連続体 という空間的広がりを持った物体として理想化してその力学的挙動を解析する物理学 の一分野である。
連続体力学では対象である連続体を巨視的に捉え、分子構造のような内部の微視的 な構造が無視できるなめらか なものであり、力を加えることで変形 するものとみなす。
概要 主な連続体として弾性体 と流体 がある。
直観的には弾性体とは圧力を取り除くと元の状態に復帰する固体 であり、流体は気体 、液体 、プラズマ を記述するものである。
連続体力学は物体を空間上の一点に近似して扱う質点 の力学 とは区別され、物体の変形を許容しない剛体 の力学 とも区別される。剛体は、変形しにくさを表す量である弾性係数 が無限大である(すなわち一切変形しない)連続体であるとみなすこともできる。
連続体の力学は材料力学 、水力学 、土質力学 といった応用力学 、およびそれらの応用分野である材料工学 、化学工学 、機械工学 、航空宇宙工学 などで用いられる。
基礎概念
連続体の記述方法 連続体を数学的に記述する方法として二つの表示が知られている。
第一の表示は、視点を空間上の各点に固定して連続体を記述する方法で、時刻 t に空間上の点 x における物理量 Q を
Q = F ( x , t ) {\displaystyle Q=F({\boldsymbol {x}},t)} として記述する方法である。この表示は連続体の空間表示 (spatial description )、あるいはオイラー表示 (オイラー記述 、Eulerian description )と呼ばれる。空間表示では連続体の各部分に付随する物理量は場 として記述される。
第二の表示は、連続体上の各部分を時間的に追跡する方法で、時刻 t = 0 に初期位置 x = X 0 にあった連続体の部分が時刻 t において移動している位置を x = X (t ) として、この部分に付随する物理量 Q を
Q = F m ( t ; X 0 ) = F ( X ( t ) , t ) {\displaystyle Q=F_{\text{m}}(t;{\boldsymbol {X}}_{0})=F({\boldsymbol {X}}(t),t)} により記述する方法である。この表示は連続体の物質表示 (material description )、あるいはラグランジュ表示 (ラグランジュ表記 、Lagrangian description )と呼ばれる。物質表示では連続体の各部分に付随する物理量は時刻 t の関数として記述される。各部分の初期位置 X 0 は補助変数 である。特に物質表示において速度は
v = v m ( t ; X 0 ) = v ( X ( t ) , t ) = d X d t {\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}_{\text{m}}(t;{\boldsymbol {X}}_{0})={\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {X}}(t),t)={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}}{\mathrm {d} t}}} を満たす。
連続体を記述する二つの表示と対応して、二種類の時間微分が定義される。 空間表示と対応する時間微分は
∂ Q ∂ t = ∂ F ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}={\frac {\partial F}{\partial t}}} で定義される。空間表示では物理量が場として記述されるため、対応する時間微分は偏微分 である。この微分はオイラー微分 (Eularian derivative )、空間微分 (spatial derivative )、空間時間微分 (spatial time derivative )[要出典 ] と呼ばれる。
一方、物質表示と対応する時間微分は
D Q D t = d F m d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} Q}{\mathrm {D} t}}={\frac {\mathrm {d} F_{\mathrm {m} }}{\mathrm {d} t}}} で定義される。物質表示では物理量は時間の関数として記述されるため、対応する時間微分は常微分である。この微分は物質微分 (material derivative )、物質時間微分 (material time derivative )[ 3] 、流れに乗って移動するときの微分[ 4] 、実質微分 [ 5] 、 ラグランジュ微分 (Lagrangian derivative )[ 6] などと呼ばれる。 これら二つの時間微分は連鎖律 から
d F m d t = [ d X d t ⋅ grad F + ∂ F ∂ t ] x = X ( t ) = [ v ( x , t ) ⋅ grad F + ∂ F ∂ t ] x = X ( t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F_{\text{m}}}{\mathrm {d} t}}=\left[{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}}{\mathrm {d} t}}\cdot \operatorname {grad} F+{\frac {\partial F}{\partial t}}\right]_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {X}}(t)}=\left[{\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {x}},t)\cdot \operatorname {grad} F+{\frac {\partial F}{\partial t}}\right]_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {X}}(t)}} となる。ここで右辺の括弧の中はオイラー表示で表されているので、オイラー表示におけるラグランジュ微分は
D Q D t = v ⋅ grad Q + ∂ Q ∂ t {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} Q}{\mathrm {D} t}}={\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} Q+{\frac {\partial Q}{\partial t}}} (B1)
で表される。
ラグランジュ微分はオイラー微分と違いガリレイ変換 に対して不変である[ 7] などの利点がある。
連続体に働く力 重力のように体積要素dV を使って
∫ V ρ d V {\displaystyle \int _{V}\rho \mathrm {d} V} のように表記できる力を体積力 という。それに対して連続体の断面の面積要素dS を使って表現できる力を 面積力 といい、位置x と面の法線n を用いて面積力を
∫ S p x ( n ) d S {\displaystyle \int _{S}{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {n}})\mathrm {d} S} と表記したとき、積分内のp x (n ) を連続体に働く応力 という。
応力p x (n ) は面の法線n に平行であるとは限らない。例えばゴムでできた柱が重力に負けて横に歪むのは重力に垂直な方向に応力が生じている為である。
応力のうち法線方向の成分を法線応力 、法線と垂直な成分を接線応力 という。法線応力が法線と同じ方向の時の法線応力を張力 、反対方向の時の法線応力を圧力 という。
応力を具体的に書き表すため、連続体内に一点x を取り、微小な四面体 を図のように定義する(本文と図の記号の違いに注意)と、x の周りの面積力の総和は
K S {\displaystyle K_{S}} = p x ( n ) d S − p x ( e 1 ) d S 1 − p x ( e 2 ) d S 2 − p x ( e 3 ) d S 3 {\displaystyle ={\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {n}})\mathrm {d} S-{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{1})\mathrm {d} S_{1}-{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{2})\mathrm {d} S_{2}-{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{3})\mathrm {d} S_{3}} = ( p x ( n ) − p x ( e 1 ) ⋅ e 1 − p x ( e 2 ) ⋅ e 2 − p x ( e 3 ) ⋅ e 3 ) d S {\displaystyle =({\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {n}})-{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{1})\cdot {\boldsymbol {e}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{2})\cdot {\boldsymbol {e}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{3})\cdot {\boldsymbol {e}}_{3})\mathrm {d} S} となる。
応力の釣り合いを示す四面体。本文とは記号が異なり、図のO 、dA 、 dA 1 、 dA 2 、 dA 3 はそれぞれ本文のx 、dS 、 dS 1 、 dS 2 、 dS 3 に対応している。また図と本文の双方においてe 1 、e 2 、e 3 はそれぞれx1 軸、x2 軸、x3 軸方向の単位ベクトルである。 四面体に働く体積力をKV とすると、力の釣り合いから
K S + K V = 0 {\displaystyle K_{S}+K_{V}=0} であるが、四面体の大きさを小さくしていくと、面積力KS が四面体の一辺の長さの2乗に比例して小さくなっていくのに対し、体積力 KV はそれより速く一辺の長さの3乗に比例して小さくなっていくので、K S /dS は0でなければならない。よって
p x ( n ) = p x ( e 1 ) ⋅ e 1 + p x ( e 2 ) ⋅ e 2 + p x ( e 3 ) ⋅ e 3 {\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {n}})={\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{1})\cdot {\boldsymbol {e}}_{1}+{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{2})\cdot {\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{3})\cdot {\boldsymbol {e}}_{3}} が成立する。 p x ( e j ) {\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{j})} のe i 方向成分をσx ij とすれば、
p x ( n ) = ( e 1 e 2 e 3 ) ( σ x 11 σ x 21 σ x 31 σ x 21 σ x 22 σ x 23 σ x 13 σ x 23 σ x 33 ) ( n 1 n 2 n 3 ) {\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {n}})={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}&{\boldsymbol {e}}_{2}&{\boldsymbol {e}}_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{\boldsymbol {x}}{}_{11}&\sigma _{\boldsymbol {x}}{}_{21}&\sigma _{\boldsymbol {x}}{}_{31}\\\sigma _{\boldsymbol {x}}{}_{21}&\sigma _{\boldsymbol {x}}{}_{22}&\sigma _{\boldsymbol {x}}{}_{23}\\\sigma _{\boldsymbol {x}}{}_{13}&\sigma _{\boldsymbol {x}}{}_{23}&\sigma _{\boldsymbol {x}}{}_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}} (B2)
が成立する。ここでni はn の e i 方向成分である。
行列 (σx ij )i,j を連続体の応力テンソル という。
変形と歪み 力をかけるなどして 連続体が変形し、最初点x にあった粒子がt 秒後にφt (x ) に移動したとする。このとき
r = r ( x , t ) := ϕ t ( x ) − x {\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}({\boldsymbol {x}},t):=\phi _{t}({\boldsymbol {x}})-{\boldsymbol {x}}} をこの変形の変位ベクトル と呼び、ヤコビ行列
D = ( ∂ r i ∂ x j ) i , j {\displaystyle D=\left({\partial r_{i} \over \partial x_{j}}\right)_{i,j}}
をこの変形の変形テンソル (deformation tensor)と呼ぶ 。
変形テンソルを対称部分と非対称部分に
E i j = 1 2 ( D i j + D j i ) F i j = 1 2 ( D i j − D j i ) {\displaystyle {\begin{array}{ll}E_{ij}&={1 \over 2}(D_{ij}+D_{ji})\\F_{ij}&={1 \over 2}(D_{ij}-D_{ji})\end{array}}}
とわけ、対称部分にあたる(Eij )i,j を歪みテンソル (strain tensor)という。
歪みテンソルの対角成分Eii を伸縮歪み (elongation-contraction)、反対角成分をずれ歪み (shear strain)といい、伸縮歪みの総和
∑ i E i i = ∇ ⋅ r {\displaystyle \sum _{i}E_{ii}=\nabla \cdot {\boldsymbol {r}}} を体積歪み (volume dilatation)という。
一方、反対称部分である(Fij )i,j は定義より明らかに
F i j = − F j i {\displaystyle F_{ij}=-F_{ji}} 、 F i i = 0 {\displaystyle F_{ii}=0} である。
Ω = ( Ω 1 , Ω 2 , Ω 3 ) := ( 2 F 23 , 2 F 31 , 2 F 12 ) {\displaystyle \Omega =(\Omega _{1},\Omega _{2},\Omega _{3}):=(2F_{23},2F_{31},2F_{12})} と定義すると、
Ω = ∇ × r {\displaystyle \Omega =\nabla \times {\boldsymbol {r}}} である。 Ω をこの変形の回転 もしくは回転ベクトル という。
これらのテンソルは、変形を開始した時刻t0 における位置x と現在の時刻t の関数であるので時間微分した量を計算できる:
∂ D i j ∂ t | t = t 0 = ∂ ∂ t ∂ r i ∂ x j | t = t 0 = ∂ v i ∂ x j ∂ E i j ∂ t | t = t 0 = 1 2 ( ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) ∂ Ω ∂ t | t = t 0 = ∇ × v {\displaystyle {\begin{array}{ll}\left.{\partial D_{ij} \over \partial t}\right|_{t=t_{0}}=\left.{\partial \over \partial t}{\partial r_{i} \over \partial x_{j}}\right|_{t=t_{0}}={\partial v_{i} \over \partial x_{j}}\\\left.{\partial E_{ij} \over \partial t}\right|_{t=t_{0}}={1 \over 2}\left({\partial v_{i} \over \partial x_{j}}+{\partial v_{j} \over \partial x_{i}}\right)\\\left.{\partial \Omega \over \partial t}\right|_{t=t_{0}}=\nabla \times {\boldsymbol {v}}\end{array}}} (B3)
が成立する。ここで v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})} は速度ベクトルである。
∂ v i ∂ x j {\displaystyle {\partial v_{i} \over \partial x_{j}}} を変形速度テンソル (deformation rate tensor)、 1 2 ( ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) {\displaystyle {1 \over 2}\left({\partial v_{i} \over \partial x_{j}}+{\partial v_{j} \over \partial x_{i}}\right)} を歪み速度テンソル (stain rate tensor)、 ∇ × v {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {v}}} を渦度 (vorticity)という。
さらに歪み速度テンソルの対角成分を伸縮歪み速度 (elongation-contraction rate)、非対角成分をずれ歪み速度 (shear stain rate)という。
連続体が満たす方程式 連続体の挙動は基礎方程式 と呼ばれる微分方程式 で記述される。
基礎方程式は全ての連続体が満たす保存則 と研究対象である物質固有の構成式 からなる。
本節では連続体が満たす保存則を紹介する。
連続の方程式 連続体を空間表記したとき、時刻t における空間上の点x での連続体の密度をρ =ρ (x ,t) とする。
空間内の領域V を考え、 V の境界∂V 上の微小な面dS とその法線ベクトルn に対し、微小時間Δt にdS からV の外へ流出する粒子の総質量は ρ v ⋅ n Δ t d S {\displaystyle \rho {\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}}\Delta t\mathrm {d} S} であるので、空間内の領域V の質量のΔt 秒間での増加量は 質量保存の法則 より、
∫ V ∂ ρ ∂ t Δ t d V = − ∫ ∂ V ρ v ⋅ n Δ t d S = − ∫ V ∇ ⋅ ( ρ v ) Δ t d V {\displaystyle \int _{V}{\partial \rho \over {\partial t}}\Delta t\mathrm {d} V=-\int _{\partial V}\rho {\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}}\Delta t\mathrm {d} S=-\int _{V}\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})\Delta t\mathrm {d} V} である。ここで第二の等号はガウスの発散定理 より従う。V の任意性により、連続体は以下の連続の方程式 を満たさねばならないことが結論づけられる:
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v ) = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})=0}
(B1) 式より、物質微分を使えば連続の方程式は
D ρ D t + ρ ∇ ⋅ v = 0 {\displaystyle {\mathrm {D} \rho \over {\mathrm {D} t}}+\rho \nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0} (C1)
とも書ける。
運動方程式 V を連続体上の(時間変化しない)任意の領域とするとき、運動量保存の法則 から以下が成立する:
(単位時間にV に働く力積 の総和) = (単位時間にV に流出する運動量の総和) + (単位時間にV に働く体積力による力積) + (単位時間にV の境界に働く面積力による力積) 上の式を具体的に書き下すことで、連続体の運動方程式を導出できる。
連続体の点x における時刻t での密度をρ =ρ(x ,t) とし、速度ベクトルをv =v (x ,t ) とするとき、
(単位時間にV に働く力積 の総和) = d d t ∫ V ρ v d V = ∫ V ∂ ( ρ v ) ∂ t d V , {\displaystyle ={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{V}\rho {\boldsymbol {v}}\mathrm {d} V=\int _{V}{\partial (\rho {\boldsymbol {v}}) \over \partial t}\mathrm {d} V,} であり、
(単位時間にV に流出する運動量の総和) = ∫∂V (微小面積dS を通って流入した粒子の総質量)・(dS の法線方向の粒子の速さ)dS = ∫ ∂ V ( ρ v ) ⋅ ( v ⋅ n ) d S {\displaystyle =\int _{\partial V}(\rho {\boldsymbol {v}})\cdot ({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}})\mathrm {d} S} = ∫ ∂ V t ( ρ v 1 v ⋅ n , ρ v 2 v ⋅ n , ρ v 3 v ⋅ n ) d S {\displaystyle =\int _{\partial V}{}^{t}(\rho v_{1}{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}},\rho v_{2}{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}},\rho v_{3}{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}})\mathrm {d} S} = ∫ V t ( ∇ ⋅ ( ρ v 1 v ) , ∇ ⋅ ( ρ v 2 v ) , ∇ ⋅ ( ρ v 3 v ) ) d V {\displaystyle =\int _{V}{}^{t}(\nabla \cdot (\rho v_{1}{\boldsymbol {v}}),\nabla \cdot (\rho v_{2}{\boldsymbol {v}}),\nabla \cdot (\rho v_{3}{\boldsymbol {v}}))\mathrm {d} V} である。最後の等式はガウスの発散定理による。ここでv =(v1 ,v2 ,v3 ) である。 体積力をK =(K1 ,K2 ,K3 ) とすると、
(単位時間にV に働く体積力による力積) = ∫ V ρ K d V {\displaystyle \int _{V}\rho {\boldsymbol {K}}\mathrm {d} V} であり、さらに σ i = ( σ i , 1 , σ i , 2 , σ i , 3 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{i}=(\sigma _{i,1},\sigma _{i,2},\sigma _{i,3})} とすると、
(単位時間にV の境界に働く面積力による力積) = ∫ ∂ V ∑ i , j σ i , j n j e j d S {\displaystyle \int _{\partial V}\sum _{i,j}\sigma _{i,j}n_{j}{\boldsymbol {e}}_{j}\mathrm {d} S} = ∫ ∂ V t ( σ 1 ⋅ n , σ 2 ⋅ n , σ 3 ⋅ n ) d S {\displaystyle =\int _{\partial V}{}^{t}({\boldsymbol {\sigma }}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}},{\boldsymbol {\sigma }}_{2}\cdot {\boldsymbol {n}},{\boldsymbol {\sigma }}_{3}\cdot {\boldsymbol {n}})\mathrm {d} S} = ∫ V t ( ∇ ⋅ σ 1 , ∇ ⋅ σ 2 , ∇ ⋅ σ 3 ) d V {\displaystyle =\int _{V}{}^{t}(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}_{1},\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}_{2},\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}_{3})\mathrm {d} V} である。最後の等式は再びガウスの発散定理による。
V の任意性より、最終的に連続体の運動方程式 は以下のようになる:
i =1, 2, 3 に対し、 ∂ ( ρ v i ) ∂ t = ∇ ⋅ ( ρ v i v ) + ρ K i + ∇ ⋅ σ i {\displaystyle {\partial (\rho v_{i}) \over \partial t}=\nabla \cdot (\rho v_{i}{\boldsymbol {v}})+\rho K_{i}+\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}_{i}} なお、テンソル ε=(εij )ij に対し
div → ε = ( ∑ j ∂ ε i j ∂ x j ) i {\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {div} }}\varepsilon =(\sum _{j}{\partial \varepsilon _{ij} \over \partial x_{j}})_{i}} と定義すると、上の方程式は
∂ ( ρ v ) ∂ t = div → ( ρ v ⊗ v ) + ρ K + div → σ {\displaystyle {\partial (\rho {\boldsymbol {v}}) \over \partial t}={\overrightarrow {\operatorname {div} }}(\rho {\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {v}})+\rho {\boldsymbol {K}}+{\overrightarrow {\operatorname {div} }}\sigma } と書くこともできる。
上の運動方程式と連続の方程式(C1) を用いる事で、運動方程式の物質微分による以下の表現を得ることができる:
D v D t = K + 1 ρ div → σ {\displaystyle {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}} \over \mathrm {D} t}={\boldsymbol {K}}+{1 \over \rho }{\overrightarrow {\operatorname {div} }}\sigma } (C2)
応力テンソルの対称性 角運動量が保存する場合、弾性体の各点x で応力テンソルは対称性
任意のi 、j ∈{1,2,3}に対し σ x , i j = σ x , j i {\displaystyle \sigma _{{\boldsymbol {x}},ij}=\sigma _{{\boldsymbol {x}},ji}}
を満たす。
連続体の分類
弾性体と塑性体 弾性体 (elastic body)とは、各時刻において応力と変形に一意的な関係がある連続体の事を指す。それに対し塑性体 (plastic body)とは、応力がある一定の限界を越えると変形が不可逆となり、応力を取り去った後も変形が残る(永久変形 )連続体の事を指す。
弾性体の中で特に、応力テンソルと歪みテンソルが線形な関係式
σ i j = ∑ k l C i j k l E k l {\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{kl}C_{ijkl}E_{kl}} (E1)
を満たすものを線形弾性体 といい、上述の関係式を線形弾性体上のフックの法則 という。
このようなCijkl が存在するとき、Cijkl を弾性係数 (elastic constant)といい、弾性係数を並べたテンソルを弾性係数テンソル という。
また弾性体の中で、その物理的特性が方向性に依存しないものを等方弾性体 (isotropic elastic body)という。
等方かつ線形な弾性体の弾性係数テンソルは
C i j k l = λ δ i j δ k l + μ ( δ i k δ j l + δ i l δ j k ) {\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu (\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})} (E2)
という形で書き表せる事が知られている。定数λとμをラメの弾性定数 (Lame's elastic constant)という。
このとき、(E1) 、 (E2) より
σ i j = λ ∑ k E k k δ i j + 2 μ E i j {\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \sum _{k}E_{kk}\delta _{ij}+2\mu E_{ij}} (E3)
一方、塑性体は弾性体と違い、応力を加えるときと取り除くときで変形の関係式が異なる弾性履歴 という現象が観測される。
また複雑な分子構造の高分子で物質では応力と変形に時間的なズレが生じ、遅延弾性 や応力緩和 といった現象が起こる事がある。
等方かつ線形な弾性体の運動方程式 弾性体の場合、弾性体上の各点の運動速度v が小さい。従って連続体の運動方程式(C2)
D v D t = K + 1 ρ div → σ {\displaystyle {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}} \over \mathrm {D} t}={\boldsymbol {K}}+{1 \over \rho }{\overrightarrow {\operatorname {div} }}\sigma } の左辺は物質微分の定義(B1) より
D v D t = ∂ v ∂ t + v ⋅ ∇ v {\displaystyle {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}} \over \mathrm {D} t}={\partial {\boldsymbol {v}} \over \partial t}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}} であるが、第二項はv に関する二次の微小量であるので無視できる。
さらにρ の時間変化が無視できるほど小さいとすれば、
∂ 2 v ∂ t 2 = ∂ K ∂ t + 1 ρ div → ∂ σ ∂ t {\displaystyle {\partial ^{2}{\boldsymbol {v}} \over \partial t^{2}}={\partial {\boldsymbol {K}} \over \partial t}+{1 \over \rho }{\overrightarrow {\operatorname {div} }}{\partial \sigma \over \partial t}} 弾性体が等方かつ線形であれば(B3) 、 (E3) より 各i に対し、
div ( ∂ t σ i j ) j = ∇ ⋅ ( λ ∑ k ∂ t E k k δ i j + 2 μ ∂ t E i j ) j {\displaystyle \operatorname {div} (\partial _{t}\sigma _{ij})_{j}=\nabla \cdot (\lambda \sum _{k}\partial _{t}E_{kk}\delta _{ij}+2\mu \partial _{t}E_{ij})_{j}} = ∇ ⋅ ( λ δ i j ∇ ⋅ v + μ ( ∂ i v j + ∂ j v i ) ) j {\displaystyle =\nabla \cdot (\lambda \delta _{ij}\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+\mu (\partial _{i}v_{j}+\partial _{j}v_{i}))_{j}} = ( λ + μ ) ∂ i ∇ ⋅ v + μ Δ v j {\displaystyle =(\lambda +\mu )\partial _{i}\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+\mu \Delta v_{j}} よって等方かつ線形な弾性体の運動方程式 は以下のようになる
∂ 2 v ∂ t 2 = ∂ K ∂ t + 1 ρ ( ( λ + μ ) ∇ ( ∇ ⋅ v ) + μ Δ v ) {\displaystyle {\partial ^{2}{\boldsymbol {v}} \over \partial t^{2}}={\partial {\boldsymbol {K}} \over \partial t}+{1 \over \rho }((\lambda +\mu )\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {v}})+\mu \Delta {\boldsymbol {v}})}
流体 静止状態で任意の点の全ての断面において接線応力が0になる連続体を流体 という 。
静止状態にある流体の任意の点x に対し、 x における法線n 方向の法線応力は-pn の形に書け、しかもp は x のみに依存し、法線n に依存しない事が簡単に証明できる。 応力-pn を静水圧 という。
p が正のとき静水圧は圧力であり、負のとき静水圧は張力である。流体が気体もしくは熱平衡状態にある液体であれば p は常に正である事が知られているが、準熱平衡状態にある液体ではp が負になる事もありうる。これを負圧 といい、樹木による樹液の吸い上げや地面の凍上で観測される現象である。
運動状態においても接線応力が生じない流体を完全流体 という[ 注 1] 。オイラーの時代には流体はどれも完全流体としてモデル化されていたが、接線応力が無いという事は、運動している流体の中に棒をさしても一切抵抗を受けないという事なので直観に反する(ダランベールのパラドックス )。
こうした事情から、流体であっても運動している際には抵抗を受けるものとしてモデル化されるようになった。運動している流体の応力が
σ i j = G i j + ∑ k l G i j k l ′ E ˙ k l {\displaystyle \sigma _{ij}=G_{ij}+\sum _{kl}G'_{ijkl}{\dot {E}}_{kl}} (F1)
と歪み速度テンソルの一次式で記述できる流体をニュートン流体 、そうでない流体を非ニュートン流体 という。
流体の定義から静止状態では接線応力が0なので、Gij は静水圧p を用いて
G i j = − p δ i j {\displaystyle G_{ij}=-p\delta _{ij}} (F2)
と書ける。さらに流体が等方性を満たせば、弾性体の時と同様の議論により
G i j k l = ζ δ i j δ k l + η ( δ i k δ j l + δ i l δ j k ) {\displaystyle G_{ijkl}=\zeta \delta _{ij}\delta _{kl}+\eta (\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})} (F3)
が成立する。
(F1) 、 (F2) 、 (F3) より、
σ i j = ( − p + ζ ∑ k E ˙ k k ) δ i j + 2 η E ˙ i j {\displaystyle \sigma _{ij}=(-p+\zeta \sum _{k}{\dot {E}}_{kk})\delta _{ij}+2\eta {\dot {E}}_{ij}} (F4)
である。η をずれ粘性率 (shear viscousity)あるいは単に粘性率 といい、ζ を第二粘性率 という。
定義より体積歪み速度 ∑ i E ˙ i i {\displaystyle \sum _{i}{\dot {E}}_{ii}} は
∑ i σ i i = 3 ( − p + χ ∑ i E ˙ i i ) χ := ζ + 2 3 η {\displaystyle {\begin{array}{ll}\sum _{i}\sigma _{ii}&=3(-p+\chi \sum _{i}{\dot {E}}_{ii})\\\chi &:=\zeta +{2 \over 3}\eta \end{array}}} (F5)
を満たす。 χ を体積粘性率 (bulk viscousity)という。
η =ζ =0 であれば、運動している場合でも接線応力が0である事になるので、これは流体が完全流体である事を意味する。このため完全流体の事を非粘性流体 ともいう。
流体の運動方程式 等方なニュートン流体であれば (F4) より、 各i に対し、
div ( σ i j ) j {\displaystyle \operatorname {div} (\sigma _{ij})_{j}} = ∇ ⋅ ( ( − p + ζ ∑ k E ˙ k k ) δ i j + 2 η E ˙ i j ) j {\displaystyle =\nabla \cdot ((-p+\zeta \sum _{k}{\dot {E}}_{kk})\delta _{ij}+2\eta {\dot {E}}_{ij})_{j}} (F6)
であるので、これを連続体の運動方程式(C2)
D v D t = K + 1 ρ div → σ {\displaystyle {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}} \over \mathrm {D} t}={\boldsymbol {K}}+{1 \over \rho }{\overrightarrow {\operatorname {div} }}\sigma } に代入する事で、等方なニュートン流体の運動方程式が得られる。
η やζ は流体の圧力 や温度 に依存するが、こうした影響が小さいとすれば η やζ は定数だと見なせるので、(F6) の式の右辺は(B3) より
− ∂ i p + ∂ i ( ζ ∇ ⋅ v ) + ∑ j ∂ j ( η ∂ j v i ) + ∂ j ( η ∂ i v j ) {\displaystyle -\partial _{i}p+\partial _{i}(\zeta \nabla \cdot {\boldsymbol {v}})+\sum _{j}\partial _{j}(\eta \partial _{j}v_{i})+\partial _{j}(\eta \partial _{i}v_{j})} = − ∂ i p + ( ζ + η ) ∂ i ∇ ⋅ v + η Δ v j {\displaystyle =-\partial _{i}p+(\zeta +\eta )\partial _{i}\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+\eta \Delta v_{j}} となる。ここでΔ はラプラシアン である。 よって(F5) よりナビエ・ストークス方程式
D v D t = K − 1 ρ ∇ p + ( χ + η 3 ) 1 ρ ∇ ( ∇ ⋅ v ) + η ρ Δ v {\displaystyle {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}} \over \mathrm {D} t}={\boldsymbol {K}}-{1 \over \rho }\nabla p+(\chi +{\eta \over 3}){1 \over \rho }\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {v}})+{\eta \over \rho }\Delta {\boldsymbol {v}}}
が従う。
脚注 [脚注の使い方 ]
注釈 ^ ここに載せた完全流体の定義はによるが、定義は分野や書籍によって異なる場合がある。詳細は完全流体の項目を参照されたい。
出典 ^ 田村武『連続体力学入門』朝倉書店、2000年2月20日初版1刷発行、ISBN 4254201028 ^ 日野幹雄『流体力学』朝倉書店、1992年12月10日初版1刷発行、ISBN 4254200668 ^ 中村育雄『流体解析ハンドブック』共立出版、1998年3月20日初版1刷発行、ISBN 4320081188 ^ 巽友正 『新物理学シリーズ21 流体力学』 培風館、1982年 4月15日初版発行、ISBN 4-563-02421-X ^ 吉澤徴『流体力学』東京大学出版、2001年9月6日初版発行、ISBN 4130626035 ^ 今井功『流体力学(前編)』裳華房、1973年11月25日発行。ISBN 4-7853-2314-0。
参考文献 巽友正『連続体の力学』岩波書店 〈岩波基礎物理シリーズ〉、1995年。ISBN 4-00-007922-0。 Lai, W. Michael; David Rubin, Erhard Krempl (1996). Introduction to Continuum Mechanics (3rd edition ed.). Elsevier, Inc.. ISBN 978-0-7506-2894-5. http://www.elsevierdirect.com/product.jsp?isbn=9780750628945 Fung, Y. C. (1977). A First Course in Continuum Mechanics (2nd edition ed.). Prentice-Hall, Inc.. ISBN 0133183114 Dill, Ellis Harold (2006). Continuum Mechanics: Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity . Germany: CRC Press. ISBN 0849397790. https://books.google.ca/books?id=Nn4kztfbR3AC&rview=1&hl=en Hutter, Kolumban; Klaus Jöhnk (2004). Continuum Methods of Physical Modeling . Germany: Springer. ISBN 3540206191. https://books.google.ca/books?id=B-dxx724YD4C&hl=en Lubarda, Vlado A. (2001). Elastoplasticity Theory . CRC Press. ISBN 0849311381. https://books.google.ca/books?id=1P0LybL4oAgC&hl=en Lubliner, Jacob (2008). Plasticity Theory (Revised Edition) . Dover Publications. ISBN 0486462900. http://www.ce.berkeley.edu/~coby/plas/pdf/book.pdf Mase, George E. (1970). Continuum Mechanics . McGraw-Hill Professional. ISBN 0070406634. https://books.google.ca/books?id=bAdg6yxC0xUC&rview=1&hl=en Mase, G. Thomas; George E. Mase (1999). Continuum Mechanics for Engineers (Second Edition ed.). CRC Press. ISBN 0-8493-1855-6. https://books.google.ca/books?id=uI1ll0A8B_UC&rview=1&hl=en Nemat-Nasser, Sia (2006). Plasticity: A Treatise on Finite Deformation of Heterogeneous Inelastic Materials . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521839793. https://books.google.ca/books?id=5nO78Rt0BtMC&hl=en Rees, David (2006). Basic Engineering Plasticity - An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications . Butterworth-Heinemann. ISBN 0750680253. https://books.google.ca/books?id=4KWbmn_1hcYC&hl=en
関連項目 古典・量子 研究方法 基礎理論 研究対象 境界領域 その他 カテゴリ
Glossary of tensor theory(英語版) 範囲 (Scope )
表記法 (Notation ) テンソルの定義 算法 関連事項 有名なテンソル
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