Constante de Gelfond

Em matemática, a constante de Gelfond, nomeada em memória de Alexander Gelfond, é e^π, isto é, e na potência π. Assim como e e π, esta constante é um número transcendental. Isto foi estabelecido a primeira vez por Gelfond e pode atualmente ser considerado uma aplicação do teorema de Gelfond-Schneider, observando que

${\displaystyle e^{\pi }\;=\;(e^{i\pi })^{-i}\;=\;(-1)^{-i}}$

sendo i a unidade imaginária. Como −i é algébrico, mas certamente não racional, e^π é transcendental. A constante foi mencionada no sétimo problema de Hilbert.^[1] Uma constante relacionada é ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$, conhecida como constante de Gelfond–Schneider. O valor relacionado π + e^π é também irracional.^[2]

A expansão decimal da constante de Gelfond começa com

${\displaystyle e^{\pi }\approx 23.14069263277926\dots \,.}$

Se definirmos ${\displaystyle \scriptstyle k_{0}\,=\,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$ e

${\displaystyle k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}}$

para ${\displaystyle n>0}$, então a sequência^[3]

${\displaystyle (4/k_{n+1})^{2^{-n}}}$

converge rapidamente para ${\displaystyle e^{\pi }}$.

O volume da bola n-dimensional é dado por:

${\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}.}$

sendo ${\displaystyle R}$ seu raio e ${\displaystyle \Gamma }$ é a função gama. Qualquer bola unitária de dimensionalidade par tem volume:

${\displaystyle V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}\ }$.

Somando todos os volumes das bolas unitárias de dimensionalidade par obtemos:^[4]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}=e^{\pi }.}$

Referências

• Alan Baker e Gisbert Wüstholz, Logarithmic Forms and Diophantine Geometry, New Mathematical Monographs 9, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88268-2

• Número transcendental
• Identidade de Euler

• Gelfond's constant at MathWorld
• A new complex power tower identity for Gelfond's constant
• Almost Integer at MathWorld