Espaços linha e coluna

Em álgebra linear, os espaços linha e coluna referem-se aos espaços vetoriais gerados pelos conjuntos dos vetores linha e coluna de uma matriz. A dimensão do espaço linha de uma matriz é chamada de posto linha, enquanto que a dimensão do espaço coluna é chamada posto coluna. Como o posto linha é igual ao posto coluna é usual usar, simplesmente, o termo posto sem fazer referência a linha ou coluna. Também, usamos a notação ${\displaystyle R(A)}$ para nos referirmos ao posto da matriz ${\displaystyle A}$. ^[1][2][3]

Seja ${\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}}$ uma matriz real ${\displaystyle m\times n}$.

O espaço linha de ${\displaystyle A}$ é o espaço vetorial gerado pelo conjunto de vetores ${\displaystyle \{\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{m}\}}$, onde:

${\displaystyle \mathbf {a} _{i}={\begin{bmatrix}a_{i,1}&a_{i,2}&\ldots &a_{i,n}\end{bmatrix}},\quad i=1,\ldots ,m}$.

A dimensão do espaço linha de ${\displaystyle A}$ é chamada de posto linha da matriz.^[1][2][3]

O espaço coluna de ${\displaystyle A}$ é o espaço vetorial ${\displaystyle R(A)}$ gerado pelo conjunto de vetores ${\displaystyle \{\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\}}$, onde:

${\displaystyle \mathbf {a} _{j}={\begin{bmatrix}a_{1,j}\\a_{2,j}\\\vdots \\a_{m,j}\end{bmatrix}},\quad j=1,\ldots ,n}$.

A dimensão do espaço coluna de ${\displaystyle A}$ é chamada de posto coluna da matriz.^[1][2][3]

O espaço linha de uma matriz possui as seguintes propriedades:^[1]

1. O posto linha de uma matriz é menor ou igual ao número de colunas da mesma.
2. Se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ são matrizes equivalentes por linha, então elas têm o mesmo posto linha.

Demonstração

1. O posto linha de uma matriz é menor ou igual ao número de colunas da mesma.

Seja ${\displaystyle A}$ uma matriz real ${\displaystyle m\times n}$. Então, os vetores linhas de ${\displaystyle A}$ formam um subconjunto do espaço euclidiano ${\displaystyle n}$-dimensional. Ou seja, a dimensão do espaço linha é no máximo ${\displaystyle n}$.

2. Se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ são matrizes equivalentes por linha, então elas têm o mesmo posto linha.

Com efeito, se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ são matrizes equivalentes por linha, então as linhas de ${\displaystyle A}$ são combinações lineares das linhas de ${\displaystyle B}$ e vice-versa. Portanto, o espaço vetorial gerado pelas linhas de ${\displaystyle A}$ é igual ao espaço vetorial gerado pelas linhas de ${\displaystyle B}$, como queríamos demonstrar.

O espaço coluna de uma matriz possui as seguintes propriedades:^[1]

1. O posto coluna de uma matriz é menor ou igual ao número de linhas da mesma.
2. O espaço imagem de uma transformação linear é igual ao espaço coluna da matriz que a represente.
3. O posto de uma transformação linear é igual ao posto coluna de qualquer matriz que a represente.

Demonstração

1. O posto coluna de uma matriz é menor ou igual ao número de linhas da mesma.

Seja ${\displaystyle A}$ uma matriz real ${\displaystyle m\times n}$. Então, os vetores coluna de ${\displaystyle A}$ formam um subconjunto do espaço euclidiano ${\displaystyle m}$-dimensional. Ou seja, a dimensão do espaço linha é no máximo ${\displaystyle m}$.

2. O espaço imagem de uma transformação linear é igual ao espaço coluna da matriz que a represente.

Seja ${\displaystyle T:V\to W}$ uma transformação linear do espaço euclidiano ${\displaystyle V}$ de dimensão ${\displaystyle m}$ no espaço euclidiano ${\displaystyle W}$ de dimenão ${\displaystyle n}$. Seja, também, ${\displaystyle A}$ uma matriz que representa ${\displaystyle T}$, i.e.:

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$.

Daí, vemos que ${\displaystyle \mathbf {y} }$ pertence à imagem de ${\displaystyle T}$ se, e somente se, existe ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ tal que ${\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} }$. Ou seja, ${\displaystyle \mathbf {y} }$ é uma combinação linear dos vetores coluna de ${\displaystyle A}$, como queríamos demonstrar.

3. O posto de uma transformação linear é igual ao posto coluna de qualquer matriz que a represente.

Segue, imediatamente, da propriedade 2.

Os espaços linha e coluna de uma matriz possuem as seguintes relações:^[1]

1. O espaço coluna de uma matriz é igual ao espaço linha de sua transposta.
2. O posto coluna de uma matriz é igual ao seu posto linha.

Observamos que a propriedade 2. justifica denotar o posto coluna e o posto linha de uma matriz ${\displaystyle A}$ por ${\displaystyle R(A)}$ ou ${\displaystyle {\text{posto}}(A)}$, sem referência a linha ou coluna.

Demonstração

1. O espaço coluna de uma matriz é igual ao espaço linha de sua transposta.

Com efeito, o espaço linha de uma matriz é o espaço gerado pelo conjunto de vetores que formam as linhas da mesma. Agora, as linhas da transposta de uma matriz são as colunas da matriz original, donde segue o enunciado.

2. O posto coluna de uma matriz é igual ao seu posto linha.

Por definição, o posto linha de uma matriz é a dimensão do seu espaço linha. Sejam ${\displaystyle A}$ uma matriz e ${\displaystyle U}$ a matriz escalonada reduzida por linha de ${\displaystyle A}$. Então, o número de vetores coluna de ${\displaystyle A}$ que são linearmente independentes é igual ao número de uns principais da matriz ${\displaystyle U}$. Mas, este é também o número de vetores linha de ${\displaystyle U}$ que são linearmente independentes. Como ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle U}$ são matriz equivalentes por linha, temos que elas têm o mesmo posto linha. Concluímos, então, que o ponto coluna de ${\displaystyle A}$ é igual ao seu posto linha.

Sejam ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$ os vetores coluna de uma matriz ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times m}$.

Se ${\displaystyle A}$ é uma matriz ${\displaystyle m\times n}$, então ${\displaystyle R(A)+N(A)=n}$. Aqui, ${\displaystyle R(A)}$ denota o posto de ${\displaystyle A}$, enquanto ${\displaystyle N(A)}$ denota sua nulidade.^[1]

Demonstração

A nulidade de ${\displaystyle A}$ é a dimensão do espaço nulo de ${\displaystyle A}$, i.e., a dimensão do espaço gerado pelas soluções de ${\displaystyle A\mathbf {x} =0}$. Seja ${\displaystyle U}$ a matriz escalonada reduzida de ${\displaystyle A}$. O posto de ${\displaystyle A}$ é igual ao número de linhas não nulas de ${\displaystyle U}$, enquanto que a nulidade ${\displaystyle A}$ é igual a ${\displaystyle n}$ menos o número de linhas não nulas de ${\displaystyle U}$. Ou seja, ${\displaystyle R(A)+N(A)=n}$.

Os seguintes resultados relacionam o conceito de singularidade com o posto de uma matriz quadrada:^[1]

1. Uma matriz quadrada ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ é não singular se, e somente se, ${\displaystyle R(A)=n}$.
2. O determinante de uma matriz ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ é não nulo se, e somente se, ${\displaystyle R(A)=n}$.
3. Um sistema linear quadrado ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ de ordem ${\displaystyle n}$ tem uma única solução se, e somente se, ${\displaystyle R(A)=n}$.
4. Um conjunto de vetores coluna ${\displaystyle \{\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\}}$ de um espaço euclidiano ${\displaystyle n}$-dimensional é linearmente independente se, e somente se, a matriz formada ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\mathbf {u} _{2}&\ldots &\mathbf {u} _{n}\end{bmatrix}}}$ tem determinante não nulo.

Demonstração

1. Uma matriz quadrada ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ é não singular se, e somente se, ${\displaystyle R(A)=n}$.

Com efeito, ${\displaystyle A}$ é não singular se, e somente se, a nulidade de ${\displaystyle A}$ for igual a zero. O resultado segue, então da relação fundamental demonstrada acima.

2. O determinante de uma matriz ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ é não nulo se, e somente se, ${\displaystyle R(A)=n}$.

Isto segue do resultados 1. demonstrado acima, uma vez que o determinante de uma matriz ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ é não nulo se, e somente se, ${\displaystyle A}$ é não singular.

3. Um sistema linear quadrado ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ de ordem ${\displaystyle n}$ tem uma única solução se, e somente se, ${\displaystyle R(A)=n}$.

Com efeito, um sistema linear quadrado ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ de ordem ${\displaystyle n}$ tem uma única solução se, e somente se, ${\displaystyle A}$ é não singular. Portanto, este resultado segue do demonstrado no item 1. desta seção.

4. Um conjunto de vetores coluna ${\displaystyle \{\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\}}$ de um espaço euclidiano ${\displaystyle n}$-dimensional é linearmente independente se, e somente se, a matriz formada ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\mathbf {u} _{2}&\ldots &\mathbf {u} _{n}\end{bmatrix}}}$ tem determinante não nulo.

Com efeito, uma matriz ${\displaystyle A}$ é invertível se, e somente se, suas colunas são linearmente independentes.

Referências