Teorema de Jordan-Hölder
O Teorema de Jordan-Hölder é um teorema criado pelos matemáticos Otto Hölder e Camille Jordan. O teorema Jordan-Hölder afirma que dadas duas series indefinidas de composição de um determinado grupo então estas são equivalentes. Assim, eles têm o mesmo comprimento de composição e os mesmos fatores de composição, até a permutação e o isomorfismo. Camille Jordan conceituou a composição e séries principais (cf. séries principais ) para esses grupos e demonstrou que os índices de duas séries do mesmo tipo (ou seja, os índices dos subgrupos GEu no Gi + 1) são os mesmos, excetuando-se pela ordem de aparência. Já Otto Hölder provou que os fatores correspondentes são isomórficos.[1]
Escrita Formal do Teorema
Seja G um Grupo finito. Considere duas séries de decomposição.
Então e a lista de fatores de composição é única até a permutação, ou seja, as listas são os mesmos, depois de reorganizar uma das listas adequadamente.
Demonstração
Tal como acontece com o teorema fundamental da aritimética, a prova procede por indução, em .
Para é trivial. Agora suponha que o teorema foi provado para todos os grupos estritamente menores que Pegue duas séries de composição e para . O teorema é verdadeiro para e para .
Se então nada temos a fazer, pois as séries de composição devem ser rearranjos uma da outra.
Se , seja .
então tem uma série de composição composta pelos grupos , pela hipótese indutiva. Então existem duas séries de composição para , aquele que envolve e a seguinte:
(note que é um subgrupo máximo de , pois pelo segundo teorema do isomorfismo)
Por indução, esta série de composição deve ser um rearranjo da outra:
significa "é o mesmo até a permutação". Note que os comprimentos sendo os mesmos implica que
Analogamente, obtemos duas séries de composição para usando o mesmo para o segundo, isto é:
então e isso prova que
Agora, usando em e em , temos:
Queremos que as duas listas externas sejam as mesmas até a permutação. As duas listas internas são as mesmas, exceto pelas duas últimas entradas. Mas e são iguais a e , também pelo segundo teorema do isomorfismo.
Portanto, as duas listas internas são as mesmas até a permutação (uma transposição dos dois últimos fatores)
Exemplo de código fonte
Suponha que temos um grupo finito G = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e queremos encontrar a sua decomposição em termos de grupos simples. Para isso, podemos usar o teorema de Jordan-Hölder.
Primeiro, criamos a lista de subgrupos de G:
List<Set<Integer>> subgroups = new ArrayList<>(); for (int i = 0; i < G.size(); i++) { for (int j = i+1; j <= G.size(); j++) { subgroups.add(new HashSet<>(G.subList(i, j))); } }
Em seguida, calculamos a série normal de subgrupos de G:
public static List<Group> getNormalSeries(Group G, List<Group> subgroups) { List<Group> normalSeries = new ArrayList<Group>(); // Inclui o grupo G como o primeiro termo da série normal normalSeries.add(G); // Se o grupo G é trivial, a série normal consiste apenas do grupo trivial if (G.isTrivial()) { return normalSeries; } // Para cada subgrupo H em subgroups, encontra o maior subgrupo normal K de G que contém H for (Group H : subgroups) { Group K = G.getLargestNormalSubgroupContaining(H); if (K.isTrivial()) { continue; } // Recursivamente chama getNormalSeries com o grupo K e subgroups - H para obter a série normal de K List<Group> normalSeriesOfK = getNormalSeries(K, subtractSubgroup(subgroups, H)); // Adiciona os grupos da série normal de K à série normal de G for (Group N : normalSeriesOfK) { if (!normalSeries.contains(N)) { normalSeries.add(N); } } } return normalSeries; }
Por fim, usamos a série normal para encontrar a decomposição de G em termos de grupos simples:
public static List<Group> getSimpleFactors(List<Group> normalSeries) { List<Group> simpleFactors = new ArrayList<>(); for (Group group : normalSeries) { if (group.isSimple()) { simpleFactors.add(group); } } return simpleFactors; }
Referências
- ↑ https://encyclopediaofmath.org/wiki/Jordan-H%C3%B6lder_theorem
http://www.math.lsa.umich.edu/~speyer/594_2013/JordanHolder.pdf
- Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. [S.l.]: American Mathematical Society, Providence. ISBN 0-8218-0772-2
- Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, ISBN 3-540-41160-7, New York: Springer .
- The Jordan-Holder Theorem - Notes for Wednesday January 23”. David E Speyer. University of Michigan http://www.math.lsa.umich.edu/~speyer/594_2013/JordanHolder.pdf
- Portal da matemática
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