O progresie geometrică este o serie în care (începând de la al doilea membru) raportul dintre orice membru și membrului precedent este constant. Acest raport se mai numește coeficient. Semnul ei uzual este q.
Denumirea acestei progresii provine de la proprietatea oricărui număr din șir (cu excepția capetelor) de a fi egal cu media geometrică a celor doi vecini ai săi (cu condiția ca termenii șirului să fie numere pozitive).
Progresii geometrice
Tipic pentru progresiile geometrice este faptul că raportul dintre oricare doi termeni consecutivi este constant. Sunt de forma
, adică
, unde sunt relațiile:
(formula generală);
(formula recurentă);
,
Acesta din urmă arată că membrul cu indice k al seriei geometrice este media geometrică a membrilor cu indicii "k + i" și "k − i", cu
.
.
În relațiile de mai sus
este rangul (poziția) termenului
în șir (
),
este primul termen,
este al doilea termen etc.;
este rația progresiei (
).
Proprietăți
Orice termen al unei progresii geometrice este media geometrică între predecesorul și succesorul său:
Exemple de progresii geometrice
- (a 1 = 1, q = 2) 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
- (a 1 = 3, q = 3) 3, 9, 27, 81, ...
- (a 1 = 5, q = 2) 5, 10, 20, 40, 80, 160, ...
- (a 1 = 7, q = 10) 7, 70, 700, 7000, ...
Suma termenilor unei progresii geometrice
Fie
suma primilor
termeni ai progresiei geometrice
.
Dacă
atunci:
![{\displaystyle S_{n}=a_{1}{\dfrac {(1-q^{n})}{1-q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf07a78e17cc67d9c79ce8abfd12130c6efa170)
Altfel, dacă
atunci:
![{\displaystyle S_{n}=n\cdot a_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31efccafdbd3a6baf22e32a1c146e3dd971b7e3c)
- Demonstrație
![{\displaystyle q\cdot S_{n}-S_{n}=q\cdot (a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})-(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}):}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4547d123aebe41cfc64603929e43e15d1df3cf87)
![{\displaystyle q\cdot S_{n}-S_{n}=q\cdot a_{1}+q^{2}\cdot a_{1}+q^{3}\cdot a_{1}+...+q^{n}\cdot a_{1}-a_{1}-q\cdot a_{1}-q^{2}\cdot a_{1}-...-q^{n-1}\cdot a_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e42c8d8bba75b51bdb43b9acd5ceb1d0aeb899)
![{\displaystyle q\cdot S_{n}-S_{n}=q^{n}\cdot a_{1}-a_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730b7fbd9ccf82d82fbdd987094329659d0450e2)
![{\displaystyle S_{n}(q-1)=a_{1}(q^{n}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/728c689bda7067926cf1be2f9c52179662915fc0)
, dacă
.
Bibliografie
- E. Rogai, Tabele și formule matematice, Editura Tehnică
- en Geometric sequence, at Mathworld.wolfram.com
Vezi și
- Progresie aritmetică
- Progresie armonică