![{\displaystyle e^{\pi }\approx 23.14069263277926\dots \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804e3934f72f9241d381bb84621a5d8b864151c8)
sayısına Aleksandr Gelfond'a atfen Gelfond sabiti adı verilmiştir; eπ e sayısının π'nci kuvvetidir ve aşkın sayıdır.Gelfond–Schneider theorem'i ile kanıtlanabilir.
bağıntısında i sayısı imajiner kısımdır ve -i'de cebirsel bir sayıdır,ama
cebirsel sayılar'dan değildir,yani transandantal sayılar dandır ve Hilbert'in yedinci teoreminde bahsi geçer. Matematiksel açıdan estetik olan yönü;
veya ![{\displaystyle e^{{\pi }/2}\;=\;i^{-i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d68f7d3edddccec829fc0a88cff5e70410485ad4)
ifadesi ile daha iyi anlaşılabilir.Çünkü eşitliğin bir tarafı tamamen reel'ken diğer tarafı tamamen imajinerdir. (hangisi gerçek?!)
Nümerik değeri
Gelfond sabiti onluk sayı sisteminde açılımında:
![{\displaystyle e^{\pi }\approx 23.14069263277926\dots \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804e3934f72f9241d381bb84621a5d8b864151c8)
olarak tanımlarsak;
![{\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44365d44b7d2377228a75aeca3e594b4cb8d9df5)
için bu dizi[kaynak belirtilmeli]
şeklinde gösterilebilir.
- bununda limiti
şeklindedir.
Geometrik gariplik
- n-boyutlu kürenin (veya n-sphere) hacmi
![{\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494303f8ebb7dfa689bec5a57b1affdfaaa23d96)
- şeklinde verilir.
- Birim veya üzeri tüm boyutlardaki kürenin hacmini özetleyen formül
![{\displaystyle V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85733966f60053dcaa30cad70df0d98cbc73519d)
- Birim ve üzerindeki boyutlardaki kürelerin hacimlerinin toplamını veren formül:
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}=e^{\pi }.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d489737a0d2d44bceb023c671087bdf1c433f41b)
Sayısal gariplik
Bazı değerler
![{\displaystyle e^{\frac {\pi }{2}}\;=\;i^{-i}\approx 4.81047738096535\dots \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad5b7b2234b40eb4744a0f0342c65111f041bb6)
![{\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\;=\;i^{i}\approx 0.20787957635076\dots \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/937790fc88199b6721bd7eb919c452cd2b639210)
![{\displaystyle e^{-{\frac {\pi ^{2}}{4}}}\;=\;e^{{(\ln i)}^{2}}\;=\;i^{\ln i}\approx 0,1076929315\dots \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85f12a10f58d52478592afb27c4e4dd14c711f33)
eπ ile πe arasındaki ilişki:
![{\displaystyle \pi ^{e}\;=\;e^{{e}\,\ln {\pi }}\approx 22,4591577183610454\dots \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f311b2264bb7fce63114e397d07fca1d5c7faa)
![{\displaystyle \;{{e}\,\ln {\pi }}\approx 3,111698447198\dots \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152a3fe54e1640b3806270f309b85d315626d762)
![{\displaystyle {\pi }-\;{{e}\,\ln {\pi }}\approx 0,0298942063913\dots \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/187bb214e6e33cf5a7b180b59c799c05e007048e)
![{\displaystyle e^{{\pi }-\;{{e}\,\ln {\pi }}}\;={\frac {e^{\pi }}{\pi ^{e}}}\;=1,03034552421621}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3159cc7fbe31333937f966915b8b863e6e32c33)
![{\displaystyle e^{\;{{e}\,\ln {\pi }}-{\pi }}\;={\frac {\pi ^{e}}{e^{\pi }}}\;=0,970548205914423}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b066c3c4a50dfc30f251e71742c7557745e56fc)
![{\displaystyle {\frac {\pi ^{e}}{e^{\pi }}}+{\frac {e^{\pi }}{\pi ^{e}}};=2,0008937301306}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2dbe325f95dfbfb21d4b0f3a1cec735053b3dbc)
Kaynakça
1. ^ Nesterenko, Y (1996). "Modular Functions and Transcendence Problems". Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1 322 (10): 909–914. 2. ^ Connolly, Francis. University of Notre Dame
Dış bağlantılar
- Gelfond's constant at MathWorld21 Ekim 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- A new complex power tower identity for Gelfond's constant
![Taslak simgesi](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/E-to-the-i-pi.svg/34px-E-to-the-i-pi.svg.png) | Matematik ile ilgili bu madde taslak seviyesindedir. Madde içeriğini genişleterek Vikipedi'ye katkı sağlayabilirsiniz. |