Przebieg funkcji π(n ) dla pierwszych sześćdziesięciu liczb naturalnych Funkcja π – funkcja używana w teorii liczb[1] [2] .
Dla danej liczby rzeczywistej x , {\displaystyle x,} wartość π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} jest liczbą liczb pierwszych nie większych od x {\displaystyle x} [1] [2] .
Funkcja ta jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, choć zwykle bada się jej zachowanie tylko dla liczb naturalnych[1] .
Niektóre z nierówności dotyczących funkcji π {\displaystyle \pi } to:
π ( x ) > x ln x {\displaystyle \pi (x)>{\frac {x}{\ln x}}} dla x ⩾ 17. {\displaystyle x\geqslant 17.} Już pod koniec XVIII wieku Carl Friedrich Gauss oraz Adrien-Marie Legendre przypuszczali, iż x ln ( x ) {\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}}} jest przybliżeniem wartości funkcji
π ( x ) < 1,255 06 x ln x {\displaystyle \pi (x)<1{,}25506{\frac {x}{\ln x}}\quad {}} dla x > 1 , {\displaystyle x>1,} x ln x + 2 < π ( x ) < x ln x − 4 {\displaystyle {\frac {x}{\ln x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-4}}\quad {}} dla x ⩾ 55. {\displaystyle x\geqslant 55.} Ponadto:
lim x → ∞ π ( x ) x / ln ( x ) = 1 , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,} lim x → ∞ π ( x ) / li ( x ) = 1 , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1,} gdzie li {\displaystyle \operatorname {li} } jest logarytmem całkowym .
Funkcja f(x) Riemanna Bernhard Riemann w swojej pracy[3] zdefiniował funkcję f ( x ) : R → R {\displaystyle f(x)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } w postaci:
f ( x ) = ∑ n = 1 α 1 n π ( x 1 n ) = π ( x ) + 1 2 π ( x 1 2 ) + 1 3 π ( x 1 3 ) + … + 1 α π ( x 1 α ) , {\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\alpha }{\frac {1}{n}}\pi \left(x^{\frac {1}{n}}\right)=\pi (x)+{\frac {1}{2}}\pi \left(x^{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{3}}\pi \left(x^{\frac {1}{3}}\right)+\ldots +{\frac {1}{\alpha }}\pi \left(x^{\frac {1}{\alpha }}\right),} gdzie składnikami sumy jest funkcja liczby liczb pierwszych, natomiast α = ⌊ log 2 ( x ) ⌋ . {\displaystyle \alpha =\lfloor \log _{2}(x)\rfloor .} Zauważmy, że tak zdefiniowana funkcja ma tą samą własność co funkcja π ( x ) . {\displaystyle \pi (x).} Jej wartość rośnie o jeden, kiedy argument jest liczbą pierwszą.
Następnie w dalszej części pracy wyprowadza jawną postać funkcji f ( x ) , {\displaystyle f(x),} składającej się z kilku członów.
f ( x ) = L i ( x ) − ∑ ν ( L i ( x 1 2 + σ ν i ) + L i ( x 1 2 − σ ν i ) ) + ∫ x ∞ 1 t 2 − 1 d t t ln t + ln ( ζ ( 0 ) ) . {\displaystyle f(x)=Li(x)-\sum _{\nu }\left(Li\left(x^{{\frac {1}{2}}+\sigma _{\nu }i}\right)+Li\left(x^{{\frac {1}{2}}-\sigma _{\nu }i}\right)\right)+\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t^{2}-1}}\,{\frac {dt}{t\ln {t}}}+\ln {\big (}\zeta (0){\big )}.} Pierwszy z nich to logarytm całkowy , drugi to suma po nietrywialnych miejscach zerowych funkcji dzeta Riemanna ζ ( z ) , {\displaystyle \zeta (z),} dla których spełniona jest zależność:
ζ ( 1 2 ± σ ν i ) = 0 , {\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}\pm \sigma _{\nu }i\right)=0,\quad {}} σ ν = { 14,134 7 , 21,022 0 , 25,010 8 , … } , {\displaystyle \sigma _{\nu }=\{14{,}1347,\ 21{,}0220,\ 25{,}0108,\dots \},} przy czym sumuje się zera zarówno leżące nad osią liczb rzeczywistych, jak i pod nią. Warto zauważyć, że ze względu na symetryczne ułożenie zer „dodatnich” i „ujemnych” na osi x = 1 2 {\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}} w wyniku sumowania otrzymuje się liczbę rzeczywistą, ponieważ część urojona sumy Σ ν {\displaystyle \Sigma _{\nu }} znosi się wzajemnie.
Trzeci składnik to całka, która szybko dąży do zera wraz z rosnącymi wartościami x . {\displaystyle x.} Przykładowe wartości całki umieszczono w tabeli poniżej.
x {\displaystyle x} 1 {\displaystyle 1} 2 {\displaystyle 2} 3 {\displaystyle 3} 4 {\displaystyle 4} 5 {\displaystyle 5} 10 {\displaystyle 10} 100 {\displaystyle 100} 1000 {\displaystyle 1000} 10 000 {\displaystyle 10\ 000} ∫ {\displaystyle \int } ∞ {\displaystyle \infty } 0,140 {\displaystyle 0{,}140} 0,040 {\displaystyle 0{,}040} 0,018 {\displaystyle 0{,}018} 0,010 {\displaystyle 0{,}010} 0,001 {\displaystyle 0{,}001} 9,875 ⋅ 10 − 6 {\displaystyle 9{,}875\cdot 10^{-6}} 6,777 ⋅ 10 − 8 {\displaystyle 6{,}777\cdot 10^{-8}} 5,162 ⋅ 10 − 10 {\displaystyle 5{,}162\cdot 10^{-10}}
Ostatni składnik to stała równa ln ( ζ ( 0 ) ) = − ln ( 2 ) . {\displaystyle \ln(\zeta (0))=-\ln(2).}
Definicja funkcji liczby liczb pierwszych π(x) za pomocą f(x) Kolejne przybliżenia funkcji π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} (zaznaczonej na czerwono) z uwzględnieniem coraz większej ilości nietrywialnych zer (niebieski kolor). Korzystając z transformacji Möbiusa, można przedstawić π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} za pomocą funkcji f ( x ) {\displaystyle f(x)} Riemanna:
π ( x ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n f ( x 1 n ) , {\displaystyle \pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}f\left(x^{\frac {1}{n}}\right),} gdzie μ ( n ) {\displaystyle \mu (n)} jest funkcją Möbiusa . Im więcej zer weźmie się pod uwagę w sumowaniu, tym dokładniejsze uzyska się przybliżenie funkcji liczącej liczby pierwsze.
Funkcja π Riemanna Czasami do obliczeń używa się przybliżenia w postaci f ( x ) = L i ( x ) , {\displaystyle f(x)=Li(x),} wtedy taką funkcję nazywa się funkcją Π ( x ) {\displaystyle \Pi (x)} Riemanna:
Π ( x ) ≈ π ( x ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n L i ( x 1 n ) . {\displaystyle \Pi (x)\approx \pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}Li\left(x^{\frac {1}{n}}\right).}
Zobacz też
Przypisy ↑ a b c d Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Prime Counting Function , [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang. ) . ↑ a b Prime counting function: Primary definition [online], functions.wolfram.com [dostęp 2017-10-13] . ↑ G.F.B. G.F.B. Riemann G.F.B. G.F.B. , Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. , listopad 1859 (niem. ) . Brak numerów stron w książce Ciągi liczbowe
pojęcia definiujące ciągi ogólne funkcja dziedzina liczby naturalne podzbiór ciągi liczbowe
typy ciągów przykłady ciągów liczb naturalnych inne przykłady ciągów liczb twierdzenia powiązane pojęcia